Проверка статистических гипотез о числовых характеристиках случайных величин

1). Статистические гипотезы о средних.

2). Статистические гипотезы о дисперсиях.

Статистические гипотезы о средних

Различают два основных типа гипотез о средних: сравнение среднего со стандартом (нормативом) и сравнение средних нескольких (в простейшем случае двух) совокупностей.

Сравнение средней со стандартом. Пусть имеем выборку , полученную по результатам испытаний. На ее основе определено среднее:

Задано нормативное значение среднего – величина «а».

Подлежит проверке гипотеза:

при

Для случая большой выборки (n>30) и известной дисперсии величина подчинена нормальному распределению с параметрами:

Поэтому в качестве статистики целесообразно выбрать величину

Известно:

где

- интеграл вероятностей

1. Проверка гипотез о средних:

1.1 Сравнение средней с нормативом

1)

2)

3)

Для всех вариантов – два случая: известна и неизвестна, т.е. используется . В первом случае используется Z- статистика, во втором – T- статистика. Порядок нахождения критических точек:

Z- статистика

Двусторонняя КО

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

; .

:

Н_о принимается

Односторонняя КО

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

:

Н_о отклоняется

Вывод: Односторонний критерий является более жестким.

OKO: ;

ДКО: , .

T- статистика

В силу четности f(x) табулируется не F(t), а функция

Пример:

Для ДКО: ; ;

Для ЛКО: ;

Для ПКО: ;

Т.к.

Для сравнения:

- интеграл ошибок (erf(z)) или функция Лапласа

Ф(-z) = -Ф(z)

Ф

F(z) =

При альтернативе критическая область будет двусторонней:

Значение критических точек определяется из уравнений:

;

;

.

где есть функции Лапласа

;

.

При альтернативе критическая область будет правосторонней и точка определится из уравнения:

,

.

Соответственно для имеем левостороннюю область и

Пример

Но принята	Но отклоняется

Вывод: Односторонний критерий является более жестким, чем двусторонний.

Если дисперсия известна, то используют статистику

,

где - статистическая дисперсия:

Известно: , где v = n-1

Функция квавантилей для t–распределения рассчитана (затабулирована) на основе зависимости:

,

где

Поэтому:

и

Пример

v = 24

Но принимается

Но отклоняется

Сравнение средних двух совокупностей

Пусть имеются две выборки объемом соответственно. Предполагается, что они получены из одной и той же генеральной совокупности. В результате обработки опытных данных получены оценки средних и . Требуется проверить гипотезу . Решение зависит от имеющихся сведений о дисперсиях. Рассмотрим возможные варианты.

Первый вариант: дисперсии выборок известны и равны друг другу, а так же Рассмотрим разность . Это случайная величина. Определим ее МОЖ и дисперсию, полагая, что гипотеза верна:

Выберем в качестве статистики величину

; D[

Если верна, то M[ ], и D[ , т.е. и поэтому дальнейшая проверка ведется по общей схеме.

Второй вариант: выборки малы ( ), неизвестны, то можно полагать (есть основания) .

Тогда определяют общую (двух выборок) статистическую дисперсию

где – статистические дисперсии выборок.

На роль статистики принимают величину

которая подчиняется t- распределению с числом степеней свободы v= .

Дальнейшая проверка ведется по общей схеме.

Третий вариант: неизвестны и нет оснований полагать их равными, т.е. . Имеем проблему Беренса-Фишера.