Основные определения

Напомним, что осевыми моментами инерции плоской фигуры относительно произвольных осей и называются величины

; . (5.13)

Центробежным моментом инерции является величина

. (5.14)

Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей надо уметь находить положение центра тяжести фигуры и знать, как изменяются моменты инерции при параллельном переносе и повороте осей. Напомним уже известные студенту формулы и приведем новые.

Определение центра тяжести фигуры производится по формулам

; , (5.15)

где вспомогательные оси , , относительно которых вычисляются статические моменты, выбираются произвольно.

При параллельном переносе осей моменты инерции изменяются по следующим законам:

; (5.16)

; (5.17)

Рис. 5.13. Параллельный перенос осей

. (5.18)

В формулах (5.16)–(5.18) , , – моменты инерции относительно центральных осей; , – координаты центра тяжести (точки на рис. 5.13) в системе осей , , параллельных центральным осям , (см. рис. 5.13). Заметим, что если при вычислении осевых моментов инерции знаки координат не имеют значения, то при определении центробежного момента инерции знаки координат , надо обязательно учитывать.

При повороте осей (рис. 5.14) координаты точки меняются по известному закону

(5.19)

Подставляя эти формулы в (5.13)–(5.14), получим, что моменты инерции изменяются следующим образом:

; (5.20)

; (5.21)

Рис. 5.14. Поворот осей

. (5.22)

Угол в формулах (5.20)–(5.22), на который поворачиваются оси, считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси к положительному направлению оси . На рис. 5.14 угол .

Чтобы найти, на какой угол надо повернуть оси, чтобы они стали главными осями инерции, положим согласно определению главных осей центробежный момент инерции по (5.22) равным нулю. Тогда

. (5.23)

Подставляя найденный угол в формулу (5.20), можно получить формулу для определения моментов инерции относительно главных осей

. (5.24)

Моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения среди бесконечного множества центральных осей: относительно одной оси момент инерции максимален, относительно другой имеет минимальное значение. Чтобы выяснить, какой момент инерции: максимальный или минимальный – имеет место для главной оси , повернутой на угол от оси , исследуем знак второй производной функции , определяемой формулой (5.20). Вычислим эту производную:

. (5.25)

Рис. 5.15. Эллипс инерции

Если при вторая производная , то относительно оси момент инерции минимален ( ), если , то .

После определения моментов инерции относительно главных осей можно построить эллипс инерции – эллипс, полуоси которого равны радиусам инерции относительно главных осей. Радиус инерции откладывается вдоль главной оси , а – вдоль оси (рис. 5.15). Построение эллипса инерции удобно использовать для анализа правильности определения моментов инерции. Эллипс инерции должен быть вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура.

В заключение приведем некоторые формулы для определения моментов простых фигур относительно центральных осей. Для прямоугольника (рис. 5.16, а) оси , являются не только центральными, но и главными, моменты инерции относительно этих осей

; ; . (5.26)

Рис. 5.16. К определению моментов инерций простых фигур

Для круга (рис. 5.16, б) любая ось, проходящая через центр тяжести, является главной и

; . (5.27)

У прямоугольного треугольника (рис. 5.16, в) оси , не являются главными, поэтому центробежный момент инерции относительно этих осей не равен нулю. Моменты инерции треугольника определяются по формулам

; ; . (5.28)

На рис. 5.16, г показана фигура, представляющая собой четверть круга (квадрант круга). Для этой фигуры относительно центральных осей , моменты инерции

; . (5.29)

Чтобы определить знак центробежного момента инерции треугольника или квадранта круга, надо использовать следующее правило знаков: если гипотенуза треугольника (дуги квадранта) в системе координат , описывается возрастающей функцией, то центробежный момент инерции положителен. Для показанного на рис. 5.16, в треугольника , квадрант круга, изображенный на рис. 5.16, г, имеет отрицательный центробежный момент инерции.

При определении моментов инерции фигуры, состоящей из прокатных профилей: двутавров, швеллеров, уголков (как в задаче № 31), осевые моменты инерции относительно собственных центральных осей двутавров, швеллеров, уголков берутся из таблиц прокатных профилей. Центробежные моменты инерции двутавров и швеллеров относительно собственных осей равны нулю. Центробежный момент инерции равнобоких уголков относительно осей , параллельных полкам, определяется по формуле

, (5.29а)

где , – моменты инерции относительно главных центральных осей уголка (рис. 5.16, д) – находятся по таблице прокатных профилей. Выбор знака в формуле (5.29а) производится по той же схеме, что и для треугольника или квадранта круга: если линия, соединяющая крайние точки уголка (пунктир на рис. 5.16, д), описывается возрастающей функцией в системе координат , то . Для уголка на рис. 5.16, д центробежный момент инерции .