Примеры решения задач

Определяем продольную силу и строим эпюру N. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке:

на первом участке ) ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Поясним, что на первом и втором участках суммируем все силы, находящиеся слева от рассматриваемого сечения, на третьем участке – силы, находящиеся справа от сечения.

Рис. 1.3. К решению задачи № 1: а – схема нагрузки на стержень; б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Вычисляем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3, б эпюра N построена для следующих исходных данных: м, м; F₁ = 10 кН, F₂ = 40 кН, q₁ = 15 кН/м, q₂ = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Для этого площади сечений на всех участках выразим через одну неизвестную величину , используя заданное отношение площадей. Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются также и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении хрупкого материала много меньше, чем при его сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. 1.3, в, опасным является не только сечение в начале третьего участка , где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, достаточно проверить прочность в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда ,

и ;

для стальной части

, тогда .

Из трех значений A₁, найденных из условий прочности в опасных сечениях, выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям (то есть максимальное их всех найденных значение . Величину А₂ находим по заданному соотношению: .

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.