ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Наиболее простыми и строгими законами описывается излучение абсолютно черного тела. Эти законы с соответствующими поправками используются для получения расчетных формул теплообмена излучением между реальными телами.

Закон Планка. Этот закон устанавливает зависимость плотности потока монохроматического излучения абсолютно черного тела от длины волны λ и температуры Т, т.е устанавливает характер спектра излучения абсолютно черного тела. Распределение энергии по длинам волн, даваемое законом Планка, имеет вид:

Е_оλ = dE_о/dλ = С₁λ^-5/[exp(C₂/λT) – 1], (4.14)

где Е_оλ – спектральная плотность излучения абсолютно черного тела

Вт/(м²·м);

С₁ – константа, С₁ = 2πhc_o² = 3,74·10^-16 Вт·м²;

С₂ – константа, С₂ = hc_o/k = 1,44·10^-2 м·К;

h = 6,63·10^-34 Дж·с – постоянная Планка;

k = 1,38·10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана;

с_о = 3·10⁸ м/с – скорость света в вакууме.

Графическое изображение зависимости (4.14) показано на рис. 4.2.

Из рис. 4.2 видно, что для любой температуры плотность потока (интенсивность) монохроматического излучения Е_оλ возрастает от нуля (при λ = 0) до своего наибольшего значения, а затем убывает до нуля (при λ = ∞). При повышении температуры интенсивность излучения для каждой длины волны возрастает. Кроме того, из рис. 4.2 следует, что при обычно встречающихся на практике температурах основной вклад в излучение дает диапазон длин волн примерно от 0,4мкм до нескольких сотен микрометров, который именуется «тепловым»

Рис. 4.2. Зависимость спектральной плотности

потока излучения абсолютно черного тела

от длины волны и температуры

Закон Вина. На рис. 4.2 четко просматривается смещение максимума излучения в сторону коротких волн. Эта закономерность была замечена Вином еще до открытия закона Планка, поэтому закон и носит его имя. Математическое выражение закона Вина устанавливается из того факта, что каждой температуре Т соответствует длина волны λ_max, для которой значение Е_оλ максимально. Условие экстремумаdЕ_оλ/dλ = 0 приводит к соотношению:

λ_maxТ = 2,9·10^-3 м·К, (4.15)

Следовательно, с увеличением температуры максимум плотности потока монохроматического излучения сдвигается в сторону более коротких длин волн. При температуре Солнца около 6000 К λ_max= =0,48мкм, т.е. световые лучи обладают наибольшей плотностью потока монохроматического излучения.

Наглядным качественным подтверждением закона Вина является тот факт, что раскаленный металл по мере повышения температуры принимает сначала красный, затем оранжевый и желтый цвета, соответствующие более коротким длинам волн в области видимого спектра.

Закон Вина широко используется в науке и технике. Так, зная длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности потока полусферического излучения, можно определить температуру излучателя.

Закон Стефана-Больцмана. Законы Планка и Вина хорошо вскрывают особенности теплового излучения, но для инженерных расчетов их трудно использовать. Поэтому в анализе теплообмена излучением широко применяют интегральную плотность потока полусферического излучения Е_о абсолютно черного тела_. Она определяется интегрированием энергии по спектру закона Планка:

∞

Е_о = ∫ Е_оλdλ = σТ⁴, (4.16)

⁰

где σ = 5,67·10^-8 Вт/(м² · К⁴) – постоянная Стефана-Больцмана.

Равенство (4.16), показывающее, что интегральная плотность потока излучения Е_о, Вт/м², пропорциональна четвертой степени температуры абсолютно черного тела, названо законом Стефана-Больцмана. Исторически этот закон был установлен И.Стефаном экспериментально в 1879 г. и Л.Больцманом теоретически в 1884 г. еще до открытия закона Планка.

Для практических расчетов этот закон записывают в виде:

Е_о = С_о(Т/100)⁴, (4.17)

где С_о=5,67 Вт/(м²·К⁴) – коэффициент излучения абсолютно черного тела.

В таблице 4.1 приведены характеристики энергии излучения абсолютно черного тела.

Табл. 4.1. Характеристики энергии излучения абсолютно черного тела

Анализ данных табл. 4.1 показывает, что интегральная плотность потока излучения существенно возрастает с ростом температуры, при этом меняется и распределение энергии в спектре излучения.При 5000 К

(дуговой электрический разряд) доли энергии, излучаемой в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра, становятся сопоставимыми.

Реальные тела по своим радиационным свойствам отличаются от абсолютно черных тел прежде всего тем, что поглощают и излучают при равных температурах, площадях и ориентации в пространстве меньше тепловой энергии. Собственное излучение реальных тел Е(Т) можно представить как долю излучения абсолютно черного тела при той же температуре:

ε(Т) = Е(Т)/Е_о(Т), (4.18)

где ε(Т) – интегральный коэффициент теплового излучения тела (степень черноты реального тела), зависящий от материала, состояния поверхности и температуры тела (ε < 1).

Для многих технических поверхностей зависимость ε от температуры достаточно слабая, так что соотношение (4.18) дает удобную формулу для расчета излучения реальных тел:

Е = εС_о(Т/100)⁴. (4.19)

В этой формулировке закон Стефана-Больцмана широко используется на практике для анализа высокотемпературных тепловых явлений, в которых роль теплового излучения значительна.

Для некоторых технически важных материалов примерные значения ε приведены в табл. 4.2. В ответственных случаях рекомендуется определять ε экспериментально.

Закон четвертой степени подтверждается для реальных тел только приближенно.Наибольшие отклонения от этого закона наблюдаются у металлов и газов. У металлов эта степень больше, а у газов – меньше четырех. Однако для расчетной оценки потоков излучения используется закон четвертой степени, т.е. формула (4.19), а несоответствие этой формулы действительной зависимости поверхностной плотности потока собственного излучения от температуры учитывается выбором степени черноты тела.

Закон Кирхгофа. Закон устанавливает связь между излучательной и поглощательной способностью тел, находящихся в тепловом равновесии (количество излученной и поглощенной телом энергии одинаково):

Е/А = Е_о. (4.20)

Уравнение (4.20) составляет содержание закона Кирхгофа: отношение поверхностной плотности Е потока собственного излучения тела к его поглощательной способности А, одинаково для всех тел, находящихся при одной и той же температуре, и равно поверхностной плотности Е_о потока собственного излучения абсолютно черного тела при той же температуре.

Из уравнения (4.20) следует, что чем больше тело поглощает, тем больше оно излучает, поэтому для конкретной температуры абсолютно черное тело имеет наибольшую поверхностную плотность потока собственного излучения.

Диатермичные (абсолютно прозрачные) тела не поглощают энергию излучения, следовательно, в соответствии с законом Кирхгофа они не могут излучать.

Таблица 4.2. Значения степени черноты для различных материалов

Если в уравнении (4.20) величину Е выразить через степень черноты

Е = εЕ_о, то это уравнение примет вид:

ε/А = 1. (4.21)

Следовательно, А = ε, т.е. коэффициент поглощения численно равен степени черноты данного тела.

Если тело отдает или получает теплоту излучением, то теплового равновесия нет. В этих условиях поглощательная способность зависит как от температуры самого тела, так и от температуры источника излучения. Э. Эккерт нашел, что в этом случае для металлов равенство А = ε будет справедливым, если степень черноты тела определять по среднегеометрической температуре √ Т₁Т₂.

Закон Ламберта. Закон Ламберта дает возможность определить зависимость изменения энергии лучистого потока от его направления по отношению к поверхности тела.

Рассмотрим излучение с элементарной площадки dF на поверхности тела (рис. 4.3). Общее количество энергии, излучаемой по всем направлениям в пределах полусферы с 1 м² поверхности в единицу времени, равно лучеиспускательной способности (интегральной плотно-сти потока излучения) Е = εС_о(Т/100)⁴.

Рис. 4.3. Излучение с элементарной площадки на поверхности тела

Если же рассматривать излучение тела лишь в направлении нормали Е_n, то интегральная плотность потока излучения в этом случае в π = 3,14 раз меньше аналогичной характеристики полусферического излучения:

Е_n = Е/π. (4.22)

Для любого другого направления энергия лучистого потока меньше, чем по нормали к поверхности, и выражается формулой

Е_φ = Е_n cos φ, (4.23)

где φ – угол между направлением излучения и нормалью (см. рис. 4.3).

Окончательно получим

Е_φ = Е_n cos φ = Еπ^-1cos φ = επ^-1С_о(Т/100)⁴ cos φ. (4.24)

Закон Ламберта справедлив для абсолютно черных тел. Для ре-альных тел при φ > 60^о действительные потоки энергии излучения от шероховатых поверхностей меньше, а от полированных металлических поверхностей больше, чем рассчитанные по (4.24).

Контрольные вопросы

1. Как осуществляется теплообмен излучением?
2. Какие лучи дают наибольший вклад в теплообмен излучением?
3. Что называется интегральной плотностью потока полусферического излучения?
4. По какой формуле определяется полный поток излучения?
5. Как вычисляется спектральная (монохроматическая) плотность потока полусферического излучения?
6. Охарактеризуйте поглощательную, отражательную и пропускательную способности тела. Чему равна их сумма?
7. Какие тела называются абсолютно черными, абсолютно белыми и абсолютно прозрачными? Какие реальные тела наиболее близки к ним?
8. Какие вещества являются практически непрозрачными для тепловых лучей?
9. Что называется собственным излучением тела?
10. Что называется эффективным излучением тела?
11. По какой формуле определяется результирующее излучение?
12. Закон Планка и его графическое изображение.
13. Закон Вина.
14. Закон Стефана-Больцмана.
15. Коэффициент излучения абсолютно черного тела.
16. Чем отличается собственное излучение реальных тел от излу-чения абсолютно черного тела?
17. Понятие о степени черноты реального тела.
18. По какой формуле определяют излучение реальных тел?
19. Закон Кирхгофа.
20. Что следует из анализа уравнения закона Кирхгофа?
21. Закон Ламберта.