Проекции прямых линий частного положения

Прямые частного положения параллельны или перпендикулярны какой-либо плоскости проекций.

Прямые параллельные одной плоскости проекций называются прямыми уровня.

Прямые перпендикулярные какой-либо плоскости проекций, т.е. параллельны двум другим, называются проецирующими прямыми.

Рассмотрим прямые уровня.

1. Прямые параллельные плоскости p₁ называются горизонталями (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Горизонталь.

Все точки горизонтали одинаково удалены от плоскости p₁, т.е. z_A = z_B = const. На эпюре A₂B₂ || x₁₂ – фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х, A₃B₃ || y₁₂ – профильная проекция горизонтали параллельна оси у.

На плоскость p₁ горизонталь проецируется без искажения, т.е. горизонтальная проекция горизонтали A₁B₁ является натуральной величиной. Углы наклона горизонтали к плоскостям p₂ и p₃ проецируются без искажения (Ða и Ðb).

2. Прямые параллельные плоскости p₂ называются фронталями (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Фронталь.

Все точки фронтали одинаково удалены от плоскости p₂, т.е. у_A = у_B = const. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х₁₂ (A₁B₁ || x₁₂), профильная параллельна оси z (A₃B₃ || z₂₃). На плоскость p₂ фронталь проецируется без искажения, т.е. фронтальная проекция фронтали A₂B₂ является натуральной величиной, углы наклона фронтали к плоскостям p₁ и p₃ проецируются без искажения (Ðj и Ðb).

3. Прямые параллельные плоскости p₃ называются профильными (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Профильная прямая.

Все точки профильной прямой одинаково удалены от плоскости p₃, т.е. х_A = х_B = const. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой перпендикулярны оси х₁₂ (или параллельны соответственно осям у и z).

На плоскость p₃ профильная проекция проецируется без искажения, т.е. профильная проекция профильной прямой A₃B₃ является натуральной величиной. Углы наклона прямой AB к плоскостям p₁ и p₂ проецируются без искажения (Ðj и Ða).

Таким образом, прямые линии уровня проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которая прямая параллельна.

Рассмотрим проецирующие прямые (рис. 3.6 - 3.8).

Рис. 3.6. Горизонтально проецирующая прямая.

Рис. 3.7. Фронтально проецирующая прямая.

Рис. 3.8. Профильно проецирующая прямая.

Для проецирующих прямых характерно, что проекция прямой на ту плоскость, которой прямая перпендикулярна, обращается в точку. Две другие проекции проецирующих прямых перпендикулярны осям. Проецирующие прямые называются горизонтально проецирующая (^ p₁), рис. 3.6; фронтально проецирующая (^ p₂), рис. 3.7; профильно проецирующая (^ p₃), рис. 3.8.

3.3 Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона.
к плоскостям проекций
(способ прямоугольного треугольника)

Прямая линия общего положения составляет с плоскостями проекций произвольные углы. Отрезок прямой общего положения проецируется на плоскости проекций с искажениями. Рассмотрим задачу на определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

В пространстве отрезок АВ прямой общего положения отнесенный к двум плоскостям проекций представляет собой гипотезу двух прямоугольных треугольников АВС и АВD (рис. 3.9а).

Одним катетом треугольников является одна из проекций отрезка, другим разность недостающих координат. Угол между гипотенузой (отрезком АВ) и катетом (проекцией) есть угол наклона прямой к соответствующей плоскости проекций.

В треугольнике АВС катет АС = А₁В₁, катет ВС = rz_AB, Ða – угол наклона отрезка АВ к плоскости p₁. rz_AB = (z_A - z_B) – разность координат точек А и В до плоскости p₁.

В треугольнике АВD катет BD = А₂В₂, катет AD = ry_AB, Ðb – угол наклона отрезка АВ к плоскости p₂. ry_AB = (y_A - y_B) – разность координат точек А и В до плоскости p₂. На эпюре (рис. 3.9б) легко построить треугольники равные рассмотренным.

Рис. 3.9а. Отрезок в пространстве.

рис3.9б. Определение длины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций.

Например, к проекции А₁В₁, как к катету прямоугольного треугольника, достраиваем от любой из точек (в нашем случае В₁), второй катет, равный разности недостающих координат точек отрезка В₁В₀ = rz_AB. Разность координат z точек А и В измеряется на фронтальной проекции. Гипотенуза А₁В₀ прямоугольного треугольника А₁В₁В₀ является натуральной величиной отрезка АВ, а угол a между проекцией и гипотенузой – это угол наклона отрезка прямой к плоскости p₁.

Аналогичные построения выполним на фронтальной проекции для определения угла наклона к плоскости p₂.

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой. Рассмотрим прямую а общего положения и построим ее следы (рис. 3.10).

Горизонтальный след прямой – это точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций p₁. Горизонтальный след обозначается М (М₁, М₂, М₃).

Фронтальный след прямой – это точка ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций p₂. Фронтальный след обозначается N (N₁, N₂, N₃).

Профильный след прямой – это точка ее пересечения с профильной плоскостью проекций p₃. Профильный след обозначается Р (Р₁, Р₂, Р₃).

Следы прямой – это точки частного положения, принадлежащие какой-либо плоскости проекций. Одна из координат = 0.

рис 3.10. Следы прямой.

Из этого следуют правила построения следов:

1. Для построения проекций горизонтального следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется проекция М₂) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с горизонтальной проекцией прямой (определяется проекция М₁ º М).

2. Для построения проекций фронтального следа необходимо продолжить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью х (определяется точка N₁) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси х до пересечения с фронтальной проекцией прямой (определяется точка N₂ º N).

3. Для построения проекций профильного следа необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью z (определяется точка Р₂) и из этой точки восставить перпендикуляр к оси z до пересечения с профильной проекцией прямой (определяется точка P₃ º P). Горизонтальная проекция Р₁ определяется пересечением горизонтальной проекции прямой с осью у.