Течение Прандтля – Майера

Важным для понимания механизма формирования течения в сложных структурах газодинамического участка сверхзвуковой струи являются соотношения для течения Прандтля – Майера. Оно реализуется при обтекании сверхзвуковым потоком выпуклых углов, а в струйном течении – при пересечении косых скачков со свободной поверхностью в начальном сечении сопла при и др. Схема течения изображена на рис.2.3.

Рис.2.3.Схема течения Прандтля – Майера:

– угол линий Маха; – угол наклона линий Маха к начальному положению при ; – угол отклонения потока при развороте от начального положения при

Течение, схема которого представлена на рис.2.3, характеризуется поворотом вокруг вершины угла (точки ) волн разрежения (линий Маха) от исходного положения при и до положения , при котором скорость , а угол линии Маха с вектором скорости будет .

Вектор скорости будет совпадать с линией угла отклонения , а характерные углы будут связаны соотношением .

В схеме течения на всех значениях радиуса полярных координат течения ( , ) будут одинаковые значения при постоянном . Для каждой траектории течение будет изоэнтропическим ( ) и поток разгоняется с увеличением при увеличении , аналогично зависимостям для сверхзвукового сопла Лаваля с увеличением числа и понижением давления . При этом все параметры изоэнтропического течения , , , могут быть определены в функции только от одного параметра: угла поворота радиуса или угла поворота линий Маха – волн разрежения. При этом подразумевается, что заданы все параметры критического состояния или параметры торможения , , , , , , .

В соответствии с этими условиями, в начальном сечении и перед разворотом струи линии Маха перпендикулярны скорости потока . Движение потока от начального сечения будет происходить под действием волн разрежения (линий Маха местных точек траекторий) с поворотом волн около полюса . При этом нормальная составляющая скорости в каждой точке траектории будет равна местной скорости звука: . Проекции скорости на радиус будут постоянны вдоль радиуса , а из условия потенциального течения (циркуляция скорости равна 0) следует

Используя вышеприведенные формулы и уравнение энергии в форме

а также имея ввиду и , получим

Решение системы уравнений с интегрированием дифференциального уравнения с разделяющимися переменными приводит к следующим выражениям для компонент скорости:

;

где .

Отсюда согласно [1] получим:

;

Если расширение потока осуществляется в вакуум ( ), то предельные углы поворота линий Маха и потока от их исходных положений будут

, .

Для будем иметь ; .

Если поток расширяется не от критического состояния, когда , а от состояния, когда и , то его поворот до состояния определяется как разность углов поворота от состояния до : и угла поворота от состояния до : , то есть или геометрически .