Решение ОДУ n-го порядка

Методы, рассмотренные выше, позволяют найти численное решение ОДУ только первого порядка. Однако они применимы и к уравнениям n-го порядка. Для этого ОДУn-го порядка предварительно приводится к системе n уравнений первого порядка.

Пусть, например, требуется решить ОДУвторого порядка

,

с начальными условиями , , .

Обозначим z=y’. В результате подстановки в исходное уравнение получим систему двух уравнений первого порядка

,

с двумя неизвестными функциями и и начальными условиями

, .

В общем виде система уравнений может быть представлена в виде

(1.5.4-1)

Решением системы(1.5.4-1) являются две функции и , из которых - решение исходного уравнения второго порядка. Выбрав, например, метод Эйлера, приближенное решение системы (1.5.4-1) можно найти с помощью двух рекуррентных формул:

Пример 1.5.4-1. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка при начальных условиях , , на отрезке [0;0.4] с шагом .

Обозначим , тогда ОДУ второго порядка можно записать в виде системы ОДУ первого порядка

с начальными условиями , , .

Применим метод Эйлера для решения системы ОДУ

и т.д.

В общем виде ОДУn-го порядка

.

Введемследующие обозначения:

…

В результате этих подстановок перейдемк системеnОДУ первого порядка:

(1.5.4-2)

Решением системы (1.5.4-2) являются функции

При заданных начальных условиях , и использовании метода Эйлера решение может быть получено с помощью рекуррентных формул

Окончательным решением ОДУn-го порядка, согласно определению, служит функция , вычисленная на заданном множестве точек[a;b].