Решение ОДУ n-го порядка





 

Методы, рассмотренные выше, позволяют найти численное решение ОДУ только первого порядка. Однако они применимы и к уравнениям n-го порядка. Для этого ОДУn-го порядка предварительно приводится к системе n уравнений первого порядка.

Пусть, например, требуется решить ОДУвторого порядка

,

с начальными условиями , , .

Обозначим z=y’. В результате подстановки в исходное уравнение получим систему двух уравнений первого порядка

,

с двумя неизвестными функциями и и начальными условиями

, .

В общем виде система уравнений может быть представлена в виде

(1.5.4-1)

Решением системы(1.5.4-1) являются две функции и , из которых - решение исходного уравнения второго порядка. Выбрав, например, метод Эйлера, приближенное решение системы (1.5.4-1) можно найти с помощью двух рекуррентных формул:

 

Пример 1.5.4-1. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка при начальных условиях , , на отрезке [0;0.4] с шагом .

Обозначим , тогда ОДУ второго порядка можно записать в виде системы ОДУ первого порядка

с начальными условиями , , .

 

Применим метод Эйлера для решения системы ОДУ

 

и т.д.

xi yi zi
0.2 1.4 1.6
0.4 1.72 1.808

 

В общем виде ОДУn-го порядка

 

.

 

Введемследующие обозначения:

 

 

В результате этих подстановок перейдемк системеnОДУ первого порядка:

 

(1.5.4-2)

Решением системы (1.5.4-2) являются функции

При заданных начальных условиях , и использовании метода Эйлера решение может быть получено с помощью рекуррентных формул

 

Окончательным решением ОДУn-го порядка, согласно определению, служит функция , вычисленная на заданном множестве точек[a;b].

 






Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 1232; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.006 сек.