Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)
Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения.
1).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы ® ¥, т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.).
2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0£ х £ а (одномерная задача).
Запишем уравнение Шрёдингера a для частицы в виде:
[ | Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме |
При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию y(х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: . Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.
Отсюда следует: , т.к. sin 0 = 0, а cos 0 = 1 ¹ 0, то В = 0 |
Таким образом, получаем:
· | Решение уравнения ([). Здесь неизвестными пока остаются А и w. |
Величину w найдем из второго краевого условия
А ¹ 0, следовательно, sinwa = 0, и значит wa = np , где n- -целые числа. Отсюда получаем w. |
Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.
Смысл этого условия в том, что частица обязательно находится в пределах ширины ямы 0 ¸ а, следовательно, вероятность этого события равна 1. |
Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (·), подставим w, и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2sin2a = 1- cos2a .
Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:
Зная А и w, найдем окончательный вид решения:
Пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной яме, физического смысла не имеет. | |
Плотность вероятности для частицы в одномерной яме - определяет вероятность нахождения частицы на единичном отрезке ямы |
Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение [. Получим:
энергия частицы в одномерной потенциальной яме, |
На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности представляют собой вероятности, т.к. .
Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е1 частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.
Дата добавления: 2021-02-19; просмотров: 333;