Основные правила решения комбинаторных задач

Ø правило суммы;

Ø правило произведения;

Ø правила подсчета числа различных размещений из т элементов

Ø по k элементов (с повторениями и без повторений): и

Ø правило подсчета числа сочетаний из m элементов по k элементов без повторений): ;

Ø правило подсчета числа перестановок из k элементов без повторений: Р = k !

Практическая часть

1. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными цифрами?

2. Сколькими способами из отряда в 20 человек можно выбрать командира и знаменосца?

3. Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 5 человек?

4. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3,4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

5. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

6. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?

7. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1,2.3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

8. Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются размещения из k элементов по m; определите значения k и m и найдите число размещений: а) Из 20 учащихся класса надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать? б) В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду? в) В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места? г) Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, ис­пользуя цифры 3, 4, 5 и 6?

9. Покажите, что в следующих задачах рассматриваются сочетания из k элементов по m, определите значения k и m и найдите число для каждой задачи: а) Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек? б) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

10. Два человека обменялись своими фотокарточками. Сколько бы­ло всего фотокарточек?

11. Два человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? А если 15 человек пожали друг другу руки, то сколько будет рукопожатий?

12. Сколькими способами можно расставить на полке 3 различные книги? Переставить три различные буквы, три различные цифры?

13. 15 человек сыграли друг с другом по одной партии в шахматы. Сколько было сыграно партий?

14. На плоскости отметили 7 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

15. Решите следующие задачи, используя формулы. Ответ проверьте с помощью перебора всех возможных вариантов:

а) Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог пе­реводить непосредственно с любого из четырех языков - русского, английского, немецкого и французского - на любой другой из этих языков?

б) Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами можно составить?

в) Мальчик выбрал в библиотеке 5 книг. По правилам библиотеки одновременно можно взять только 2 книги. Сколько у мальчика вариантов выбора двух книг из пяти?

г) Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Из скольких вариантов им надо выбрать тройку счастливцев? Как осуществить выбор, чтобы у всех ребят равные шансы попасть на матч?

д) В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

е) Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан дали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

ж) Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая, и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

16. Ниже приведены комбинаторные задачи для учащихся начальных классов. Решите их методом перебора и используя формулы комбинаторики. Выбор формул обоснуйте.

а) Аня, Боря, Вера и Гена - лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать из них троих. Сколькими способами можно это сделать?

б) Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, имеются красный, зеленый и синий карандаши?

в) При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?

г) На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки?

д) За свои рисунки ученик получил две положительные отметки. Какими они могут быть?

е) В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМА

1. Математические понятия. Объем и содержание понятия.

2. Отношения рода и вида между понятиями.

3. Определение понятий.

4. Требования к определению понятий.

5. Контекстуальные и остенсивные определения.

6. Высказывания и высказывательные формы.

7. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.

8. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.

9. Высказывания с кванторами.

10. Истинность высказываний с кванторами.

11. Отрицание высказываний и высказывательных форм.

12. Отношения следования между предложениями.

13. Отношения равносильности между предложениями.

14. Структура теоремы.

15. Отличие теоремы от правила.

16. Виды теорем.

17. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач.

18. Структура процесса решения задач.

19. Методы и способы решения текстовых задач.

20. Этапы решения и приемы их выполнения.

21. Решение типовых задач: «задач на части», «на движение».

22. Роль комбинаторных задач в курсе начальной математики.

23. Правила суммы и произведения.

24. Размещения и сочетания.

МОДУЛЬ 3. ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Для школьной математики натуральное число является тем понятием, с которого, как правило, начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными функциями натурального числа. Отвечая на вопрос: «Сколько машин изображено на рисунке?», - они имеют дело с числом как количественной характеристикой множе­ства предметов. Производя счет предметов, используют натуральное число как характеристику порядка. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает как значение величины при выбранной единице, т.е. как мера величины. Большое внимание уделяется в начальном курсе математики и еще одной роли числа - как компоненту вычислений. Таким образом, натуральное число имеет много функций, и многие из них должны быть поняты и усвоены уже младшими школьниками. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями, в которых обосновываются различные подходы к определению натурального числа и действий над числами.

В этом модуле мы рассмотрим различные подходы к построению системы натуральных чисел, отвечающее на вопрос, что представляет собой число, как элемент натурального ряда; затем построим ее теоретико-множественную модель и изучим способы записи чисел и алгоритмы действий над ними.

Студент должен уметь:

· иллюстрировать примерами из учебников математики для начальной школы различные подходы к определению натурального числа и действий над числами;

· рационально выполнять и обосновывать устные и письменные вычисления с натуральными и положительными рациональными числами;

· записывать числа в различных позиционных системах счисления и производить над ними арифметические действия.