Степенные средние величины

Средняя величина в зависимости от представления исходных данных может быть различна, в каждом отдельном случае приходим к определенному виду средней: арифметической, гармонической, геометрической и т. д. Данные виды средних делятся на простые и взвешенные. Простые средние применяются в тех случаях, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются. Общий вид простой средней:

, (3.1)

где X – значение осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

В тех случаях, когда значения признака встречаются неоднократно, используются взвешенные средние. Общий вид взвешенной средней:

, (3.2)

где X – значение осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

f – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

Таблица 3.1

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Возникает вопрос, какой формой средней воспользоваться в том или ином случае?

Порядок выбора формы средней качественного признака базируется на основе следующих правил:

- если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя должна исчисляться по формуле средней арифметической взвешенной;

- если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической;

- в том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя величина вычисляется непосредственно по этой формуле.

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики.

Пример расчета

Ставится задача вычислить среднюю заработную плату в целом по четырем бригадам КРС (капитального ремонта скважин) цеха по добыче нефти и газа.

Таблица 3.2

Варьируя составом исходных данных, используемых для ее решения, возможны следующие подходы.

Вариант I. Вычислим среднюю заработную плату, руководствуясь данными о фонде заработной платы F и численности рабочих f по логической формуле:

,

или

Вариант II. Выполним расчет, используя данные о средней заработной плате и фонде заработной платы по каждой из производственных бригад, по методу средней гармонической:

Вариант III. Вычислим среднюю заработную плату по данным о средней заработной плате и численности рабочих в бригадах по способу средней арифметической:

Если рассчитывать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся не всегда одинаковыми. В данном случае действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

(3.3)

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.