Как найти предел знакочередующейся последовательности?
Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа .
Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?
И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:
Пример 13
Найти предел последовательности
Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности , которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить , нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»:
Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел:
Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.
Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей .
Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и , то .
Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности получен бесконечный результат (или если предела нет), то у последовательности предела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с .
Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)
Успехов в учёбе!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Найдём предел последовательности:
Используем формулу суммы первых членов арифметической прогрессии .
В данном случае
Пример 4: Решение:
Пример 6: Решение:
Пример 8: Решение:
Пример 10: Решение: последовательность – ограничена: , а последовательность , значит, по соответствующей теореме:
Пример 12: Решение:
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .
В данном примере .
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 366;