Групповая скорость в диспергирующей среде

Получим аналитическое выражение для групповой скорости. Для упрощения рассуждений и математических выкладок, рассмотрим суперпозицию всего лишь двух плоских волн, и будем считать, опять же для простоты, что их амплитуды одинаковы, а начальные фазы равны нулю. Уравнения волн имеют вид:

, (30.5)

, (30.6)

Графически наложение волн можно представить так, как показано на рисунке 30.5. Интенсивность суммарной волны очевидно будет максимально в окрестности точки А, в которой колебания волн происходят в одной фазе.

Допустим, что обе волны перемещаются слева направо и скорость «красной» волны меньше, чем «синей». Поскольку у «красной» волны длина волны меньше, то в рассматриваемом случае , а (поскольку , положительному соответствует отрицательное приращение ). Условие соответствует нормальной дисперсии.

С течением времени «синяя» волна догоняет «красную» и точка А будет перемещаться влево относительно волн. Соответственно групповая скорость в данном случае будет меньше фазовой.

При обратном соотношении между скоростями, т. е. если скорость длинноволновой составляющей меньше, чем у коротковолновой, место усиления колебаний будет перемещаться вдоль направления распространения и групповая скорость будет больше фазовой. Такая ситуация соответствует аномальной дисперсии.

Уравнение результирующей волны получим, сложив (30.5) и (30.6):

. (30.6)

По формуле суммы косинусов получаем:

(30.7)

Учитывая, что и , получаем:

(30.8)

В уравнении (30.8) первый косинус изменяется гораздо медленнее, чем второй. Поэтому (30.8) можно рассматривать как уравнение плоской волны, с амплитудой, медленно изменяющейся с течением времени и увеличением координаты:

(30.9)

Поскольку мы рассматриваем наложение только двух волн, то в нашем случае имеется ряд одинаковых максимумов амплитуды, которые, в соответствии с (30.9) определяются условием:

(30.10)

Отсюда находим координаты максимумов:

; при . (30.11)

Скорость перемещения центра рассматриваемой «группы волн»

. (30.12)

Таким образом, максимум амплитуды результирующей волны перемещается со скоростью

. (30.13)

Переходя к дифференциалам для групповой скорости находим:

. (30.14)

Поскольку , то из (30.14) следует

. (30.15)

Производную можно представить в виде:

. (30.16)

По определению волнового вектора

(30.17)

Подставим это значение в (30.16):

. (30.18)

Это значение в свою очередь подставим в (30.15)

. (30.19)

Поэтому для групповой скорости справедливо соотношение:

(30.20)

Как видно из (30.20), в зависимости от знака групповая скорость может быть и меньше и больше фазовой. В отсутствии дисперсии и групповая скорость совпадает с фазовой.