Поле комплексных чисел.

Возможны различные подходы к определению поля комплексных чисел.

Один из возможных заключается в следующем:

Определение.Полем комплексных чисел называется алгебраическое расширение поля действительных чисел, иначе, поле комплексных чисел наименьшее из полей, содержащее все алгебраические элементы над полем действительных чисел (т.е. все корни многочленов с действительными коэффициентами).

В этом случае , где - корень многочлена .

Другой подход основан на построении поля комплексных чисел как подкольца кольца квадратных матриц второго порядка над полем действительных чисел.

Рассмотрим множество . - кольцо. В этом кольце выбирается подмножество .

Теорема 1. - поле.

Доказательство.

Проверим, что подкольцо кольца , а, следовательно, само образует кольцо.

.

Нетрудно устанавливается, что в умножение коммутативно и ассоциативно.

Остается покакать, что в каждый ненулевой элемент обратим.

Пусть - обратима в . Тогда .

Таким образом, - поле.

что и требовалось доказать.

Теорема 2.Поле действительных чисел изоморфно вкладывается в поле комплексных.

Доказательство.

Рассмотрим соответствие по правилу для всех .

Очевидно, что - всюдуопределено и однозначно, а, следовательно, - отображение.

- инъективное отображение.

Покажем, что - гомоморфизм.

Таким образом, - инъективный гомоморфизм, а, значит, изоморфно вкладывается в .

что и требовалось доказать.