Ускорение точки при прямолинейном движении

Механическое движение. Основные понятия механики.

Механическое движение – изменение положения тел (или их частей) в пространстве с течением времениотносительно других тел.

Из этого определения следует, что механическое движение – движение относительное.

Тело, по отношению к которому рассматривается данное механическое движение, называется телом отсчёта.

Система отсчёта — это совокупность тела отсчёта, системы координат и системы отсчёта времени, связанных с этим телом, по отношению к которому изучается движение (или равновесие) каких-либо других материальных точек или тел(рис.1).

Рис. 1.

Выбор системы отсчёта зависит от целей исследования. При кинематических исследованиях все системы отсчёта равноправны. В задачах динамики преимущественную роль играют инерциальные системы отсчёта.

Инерциальная система отсчёта(и.с.о.)–система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Всякая система отсчёта, движущаяся по отношению к и. с. о. поступательно, равномерно и прямолинейно, есть также и. с. о. Следовательно, теоретически может существовать сколько угодно равноправных и. с. о., обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы (так называемый, принцип относительности).

Если система отсчёта движется по отношению к и.с.о. неравномерно и прямолинейно, то она является неинерциальнойи закон инерции в ней не выполняется. Объясняется это тем, что по отношению к неинерциальной системе отсчёта материальная точка будет иметь ускорение даже при отсутствии действующих сил, вследствие ускоренного поступательного или вращательного движения самой системы отсчёта.

Понятие об и. с. о. является научной абстракцией. Реальная система отсчёта связывается всегда с каким-нибудь конкретным телом (Землёй, корпусом корабля или самолёта и т. п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. Поскольку в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звёздам и т. д.), то любая реальная система отсчёта является неинерциальной и может рассматриваться как и. с. о. лишь с той или иной степенью приближения.

С очень высокой степенью точности и. с. о. можно считать так называемую гелиоцентрическую (звёздную) систему с началом в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы) и с осями, направленными на три звезды. Для решения большинства технических задач и. с. о. практически может служить система, жестко связанная с Землёй, а в случаях, требующих большей точности (например, в гироскопии), – с началом в центре Земли и осями, направленными на звёзды.

При переходе от одной и. с. о. к другой в классической механике Ньютона для пространственных координат и времени справедливы преобразования Галилея, а в релятивистской механике (т. е. при скоростях движения, близких к скорости света) –преобразования Лоренца.

Материальная точка – тело, размерами, формой и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Материальная точка – объект абстрактный.

Абсолютно твёрдое тело (АТТ) – тело, расстояние между двумя любыми точками которого остаётся неизменным (деформацией тела можно пренебречь).

АТТ – объект абстрактный.

Финитное движение – движение в ограниченной области пространства, инфинитное движение – неограниченное в пространстве движение.

Положение точки А в пространстве задается радиус – вектором или тремя его проекциями на оси координат (рис.2).

Рис.2.

Следовательно, закон движения – это зависимость радиус-вектора от времени или зависимость координат во времени, где –радиус-вектор, –координаты точки; – единичные орты[1]:

или

,

,

Кинематика

Кинематика –раздел механики, посвящённый изучению законов движения тел без учёта их масс и действующих сил.

Основные понятия кинематики

Рис.4.

Траектория (лат. trajectorius– относящийся к перемещению)– непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении(рис.4)

Если траектория прямая линия, то движение называется прямолинейным, если кривая линия – то криволинейным. Траектория – понятие относительное, т.к. вид траектории зависит от выбранной системы отсчёта. Вид траектории зависит так же от наложенных связей.

Рис. 5. Параболическая траектория.

Например, по отношению к Земле (если пренебречь её суточным вращением) траектория свободной материальной точки, отпущенной без начальной скорости и движущейся под действием силы тяжести, будет прямая линия (вертикаль), а если точке сообщить начальную скорость ₀не направленную вдоль вертикали, то при отсутствии сопротивления воздуха её траектория будет парабола (рис. 5).

Путь – скалярная физическая величина, равная длине участка траектории, пройдённого материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени; в СИ: = м(метр[2]).

В классической физике неявно предполагалось, что линейные размеры тела абсолютны, т.е. одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Однако, в специальной теории относительности доказывает относительность длин (cокращение линейных размеров тела в направлении его движения).

Линейные размеры тела наибольшие в той системе отсчета, относительно которой тело покоится: Δl = Δ т.е. > , где – собственная длина тела, т.е. длина тела, измеренная в ИСО, относительно которой тело покоится, где .

Перемещение –вектор, соединяющий положение движущейся точки в начале и конце некоторого промежутка времени (рис. 6);в СИ: .

Рис.6.

– перемещение, ABCD – путь. Рис.7.

Из рис.6 видно, что ,причём , где – длина пути:

Пример.Движение точки задано уравнениями:

Написать уравнение траектории движения точки и определить её координаты через после начала движения.

Решение:

Рис.8.

Чтобы исключить время, параметр , найдём из первого уравнения , из второго . Затем возведём в квадрат и сложим. Так как , получим =1. Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.8).

Начальное положение точки (при ) определяется координатами , см. Через 1 сек. точка будет в положении с координатами:

Время(t) – одна из категорий (наряду с пространством), обозначающая форму существования материи; форма протекания физических и психических процессов; выражает порядок смены явлений; условие возможности изменения, а также одна из координат пространства–времени, вдоль которой протянуты мировые линии физических тел; в СИ: – секунда[3].

В классической физике неявно предполагалось, что время величина абсолютная, т.е. одинаково во всех инерциальных системах отсчёта .Однако, в специальной теории относительности была доказана зависимость времени от выбора инерциальной системы отсчёта: ,где –время, измеренное по часам наблюдателя, движущегося вместе с системой отсчёта. Отсюда следовал вывод об относительности одновременности, а именно: в отличие от классической физики, где предполагалось, что события одновременные в одной инерциальной системе отсчёта одновременны и в другой инерциальной системе отсчета, в релятивистском[4] случае пространственно разобщённые события одновременные в одной инерциальной системе отсчёта могут быть неодновременными в другой системе отсчёта.

З.2. Скорость

Скорость (часто обозначается , или от англ. velocity или фр.vitesse)– векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направления движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.

Мгновенная скорость – векторная величина, равная первой производной радиус вектора движущейся точки по времени (скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории):

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рис.9).

Рис. 9.

В прямоугольной декартовой системе координат:

В то же время , поэтому

.

Таким образом, координаты вектора скорости – это скорости изменения соответствующей координаты материальной точки:

или в обозначениях:

Тогда модуль скорости можно представить: В общем случае, путь отличен от модуля перемещения . Однако, если рассматривать путь , проходимый точкой за малый промежуток времени , то . Поэтому модуль вектора скорости равен первой производной от длины пути по времени: .

Если модуль скорости точки не изменяется с течением времени , то движение называется равномерным.

Для равномерного движения справедливо соотношение: .

Если модуль скорости изменяется со временем , то движение называется неравномерным.

Ускорение (обычно обозначается ) –производная скорости по времени, векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Например, вблизи Земли падающее на Землю тело, в случае, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха, увеличивает свою скорость примерно на 9,81м/с каждую секунду, то есть, его ускорение, называемое ускорением свободного падения .

Производная ускорения по времени, т.е. величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок.

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём дифференцирования вектора скорости материальной точки по времени:

.

Модуль ускорения величина алгебраическая:

– движение ускоренное (скорость возрастает по величине);

– движение замедленное (скорость уменьшается по величине);

– движение равномерное.

Если – движение равнопеременное (равноускоренное или равнозамедленное).

Среднее ускорение

Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло:

,

где –вектор среднего ускорения.

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости (здесь – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).

В момент времени тело имеет скорость . В момент времени тело имеет скорость (рис.12).Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости . Тогда определить ускорение можно так:

Рис. 12.

.

Мгновенное ускорение.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

.

Направление ускорения также совпадает с направлением изменения скорости при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости.

Вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие оси координат в данной системе отсчёта:

,

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул:

,

где – углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Ускорение точки при прямолинейном движении

Если вектор , т.е.не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении справедливы формулы:

.

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости , (т.е. ).

Рис. 13.

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть ,то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости . Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным . На рис. 13 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Ускорение точки при криволинейном движении

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих.

Действительно, при движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости за некоторый малый промежуток времени можно задать с помощью вектора (рис. 14).

Вектор изменения скорости за малое время можно разложить на две составляющие: , направленную вдоль вектора (касательная составляющая), и , направленную перпендикулярно вектору (нормальная составляющая).

Тогда мгновенное ускорение равно: .

Рис. 14. Изменение вектора скорости по величине и направлению. –изменение вектора скорости за время .

Направление вектора ускорения в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости Составляющие вектора ускорения называют касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями (рис.15).

Рис. 15. Касательное и нормальное ускорения.

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении:

Рис. 16. Тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

Направление вектора тангенциального ускорения (рис. 16) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное (центростремительное) ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть, вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (рис. 15). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается символом . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории. Из рис. 15 видно, что

Рис. 17. Движение по дугам окружностей.

Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 17).

Нормальное ускорение зависит от модуля скорости и от радиуса окружности, по дуге которой тело движется в данный момент:

.

Равнопеременное криволинейное движение

Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: . Найдем закон этого движения, считая, что при : , а , где – начальная скорость точки. Согласно формуле: имеем: .

Так как , то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим:

.

Формулу представим в виде: или .

Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде: .

Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает – замедленным.

Рис. 18.

В частном случае, при движении по окружности, расположение векторов ускорений приведено на рис. 18.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

.

Вектор всегда направлен к центру окружности. Из рис.15 видно, что модуль полного ускорения равен (согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника):

Пример. Движение точки задано уравнениями , . Найти ускорение точки.

Решение:

Из первого уравнения . Подставив во второе, получим уравнение траектории: .

Это уравнение параболы. Вначале движения, при , точка находилась на самом верху, в положении .

А, например, при она будет в положении с координатами ; .

Проекции скорости на оси .

При .

И модуль скорости: .

Рис.19.

Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. 19.

Проекции ускорения , . Так как проекция вектора ускорения на ось равна нулю, а на ось – отрицательна, то вектор ускорения на­правлен вертикально вниз, и величина его постоянна, не зависит от времени.

Ускорение – величина абсолютная, т.е. не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

Свободное падение тел. Ускорение свободного падения

Свободное падение–это движение тела под действием только силы тяжести.

На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение – это падение тел в вакууме.

Ускорение , которое сообщает телу сила тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость свободно падающего тела за единицу времени.

Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.

Галилео Галилей установил (закон Галилея): все тела падают на поверхность Земли под действием земного притяжения при отсутствии сил сопротивления с одинаковым ускорением, т.е. ускорение свободного падения не зависит от массы тела.

Убедиться в этом можно, используя трубку Ньютона или стробоскопический метод.

Рис.20.

Трубка Ньютона представляет собой стеклянную трубку длиной около , один конец которой запаян, а другой снабжен краном (рис. 20).

Поместим в трубку три разных предмета например, дробинку, пробку и птичье перо. Затем быстро перевернем трубку. Все три тела упадут на дно трубки, но в разное время: сначала дробинка, затем пробка и, наконец, перо. Но так падают тела в том случае, когда в трубке есть воздух. Стоит только воздух откачать насосом и снова перевернуть трубку, мы увидим, что все три тела упадут одновременно.

В земных условиях зависит от географической широты местности.

Наибольшее значение оно имеет на полюсе , наименьшее – на экваторе . Причины этого:

1) суточное вращение Земли вокруг своей оси;

2) отклонение формы Земли от сферической;

3) неоднородное распределение плотности земных пород.

Ускорение свободного падения зависит от высоты тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле:

,

где – гравитационная постоянная, – масса планеты, – радиус планеты.

Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, то на поверхности планеты радиусом : .

Для небольших высот можно считать , для таких высот свободное падение является равноускоренным движением.

Для его описания можно использовать формулы равноускоренного движения:

– уравнение скорости: ,

– кинематическое уравнение, описывающее свободное падение тел:

или в проекции на ось: .