Перемещения и деформации при растяжении (сжатии)

Рассмотрим стержень, находящийся под действием растягивающей нагрузки. Выделим (до деформации) двумя произвольными сечениями А-А и В-В бесконечно малый участок длиной dx на расстоянии x от свободного конца. Под действием внешней силы P сечение А-А переместиться в положение А₁-А₁ на расстояние u, а сечение В-В - в положение В₁-В₁ на расстояние u+du (du - бесконечно малая величина) Следовательно, абсолютное удлинение отрезка dx равно разности его размеров до и после деформации Δdx = du.

Относительная продольная деформация точек сечения А-А стержня при растяжении

(2.5)

Для линейно-упругого матери-ала связь между нормальными напряжениями и относительной деформацией при растяжении определяется законом Гука:

, (2.6)

или, учитывая, что ,

, (2.7)

где Е - модуль нормальной упругости (модуль Юнга), постоянный коэф­фициент, который является константой материала (например, для стали Е=2∙10¹¹ Па, для меди Е=1,2∙10¹¹ Па, для титана Е=1,2∙10¹¹ Па).

Исходя из этих формул, можно записать выражение для перемещений точек растягиваемого стержня в рассматриваемом сечении

, , (2.8)

Тогда полное удлинение стержня при растяжении , равное перемещению точек правого крайнего сечения, относительно левого крайнего:

(2.9)

При постоянстве величин N, F, Е вдоль оси стержня, абсолютное удлинение можно найти так:

. (2.10)

При растяжении стержень деформируется не только в продольном направлении, но и в поперечном.

Абсолютная поперечная деформация стержня опреде-ляется как разность его поперечных размеров до и после деформации:

;

.

Относительная поперечная деформация стержня определяется отношением абсолютной поперечной деформации к соответствующему первоначальному размеру.

Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова:

(2.11)

.

Между относительной поперечной и продольной деформациями прирастяжении (сжатии) в пределах применимости закона Гука существует постоянное соотношение, которое называется коэффициентом поперечных деформаций (коэффициентом Пуассона µ).

Коэффициент Пуассона равен абсолютной величине отношения поперечной деформации к продольной

. (2.12)

Коэффициент Пуассона – безразмерная величина.

Так как продольная и поперечная деформация для конструкционных материалов имеют противоположные знаки, можем записать

(2.13)

или, учитывая, что, согласно закону Гука, запишем

(2.14)

Коэффициент Пуассона µ также как и модуль Юнга Е характеризует упругие свойства материала. Для изотропных материалов коэффициент Пуассона находится в пределах от 0 до 0,5 (сталь ; каучук ).