Лекция 8. Дифференциальный метод расчета электрических полей

Основы метода

Дифференциальный метод расчета электрических полей основан на том, что любую функцию (в том числе и потенциал) можно разложить в ряд по малому параметру. Какой бы сложной ни была зависимость потенциала от координат, он может быть представлен в виде:

, (3.1)

где Ф – потенциал в точке с координатами r, который следует определить, Ф₀ - потенциал в точке с координатами r₀, который известен (или наоборот).

Рассмотрим частный случай плоского поля. Тогда (3.1) будет иметь вид:

(3.2)

На рис.3.1 показаны точки электрического поля 1, 2, 3 и 4 в которых определены потенциалы Ф₁, Ф₂, Ф₃ и Ф₄, соответственно. Расстояние между всеми этими точками одинаково и равно некоторой величине а. Потенциал в начале координат неизвестен и его следует выразить через известные потенциалы в точках 1, 2, 3 и 4. Воспользуемся формулой 3.2 и запишем потенциал в точках 1, 2, 3 и 4 через потенциал в начале координат (точка 0):

Просуммируем уравнения:

Второй и третий члены справа обращаются в нуль, а четвертый представляет собой уравнение Лапласа для двумерного поля в декартовой системе координат, т.е. тоже равен нулю. В результате получаем:

, или . (3.3)

Формулу (3.3) называют формулой четырехугольника.

Используя разложение (3.2) можно определить потенциалы в диагональных точках 5, 6, 7 и 8:

Проводя суммирование уравнений и учитывая, что Лапласиан DФ=0, получим диагональную формулу:

(3.4)

При наличии каких-либо элементов симметрии формулы (3.3) и (3.4) упрощаются. Например, при наличии диагональной плоскости симметрии, проходящей через элементы 7, 0, 5 формула четырехугольника может быть заменена формулой:

,

а при наличии плоскости симметрии, проходящей через элементы 3, 0, 1, диагональную формулу можно заменить формулой:

.

При наличии нескольких элементов симметрии формулы еще больше упрощаются.

При определении поля в некоторых случаях граница поля не может быть представлена рис.3.1, а имеет более сложную конфигурацию, показанную на рис.3.2. Здесь все расстояния между началом координат и точками 1, 2, 3 и 4 не равны между собой, а пропорциональны произвольному множителю, в качестве которого может быть выбрана, например, единица измерения. В этом случае потенциалы в точках 1, 2, 3 и 4 можно выразить через потенциал точки 0 следующим образом:

тогда ,

,

Окончательно формула четырехугольника принимает вид:

(3.5)

Нетрудно убедиться прямой подстановкой, что в случае равенства а1= а2= а3= а4= а формула (3.5) переходит в формулу четырехугольника (3.3).

В случае слоистых диэлектриков, которые используются в аппаратах высокого напряжения, требуется определить потенциал точки, лежащей на границе раздела двух сред различающихся диэлектрическими постоянными. В этом случае следует пользоваться методом наложения, а различие диэлектрических проницаемостей в уравнении поля учитывать в виде:

e_iDФ=0. (3.6)

На границе раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями e₁ иe₂ выполняются следующие соотношения:

a. потенциалы равны (непрерывны) Ф₁=Ф₂,

b. нормальные компоненты плотности смещения равны D₁=D₂:

c. тангенциальные компоненты напряженности поля равны Е₁=Е₂.

Учитывая эти соотношения, граница раздела двух сред может быть изображена в виде, представленном на рис.3.3. Тогда для формулы четырехугольника можно записать:

4(e₁ +e₂)Ф₀ = (e₁ +e₂)(Ф₁+Ф₃) +2e₁Ф₂+ 2e₂Ф₄

(3.7)

Для диагональной формулы:

4(e₁ +e₂)Ф₀ = 2e₁(Ф₅+Ф₆) + 2e₂(Ф₇+Ф₈)

(3.8)

При e₁ = e₂ формулы (3.7) и (3.8) переходят в формулы (3.3) и (3.4), соответственно.

Порядок расчета

Порядок расчета по дифференциальному методу следующий. На первом этапе все рассчитываемое пространство следует заполнить сеткой из элементов, рассмотренных выше. Важно, чтобы края пространства и границы раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями как можно точнее совпадали с сеткой. Затем, каждому узлу сетки приписывается определенный потенциал Ф_i,k . Важным моментом на этом этапе является факт, что потенциал на границах поля известен. Неизвестные потенциалы рассчитываются по формуле (3.3) ¸(3.8).

Существуют два подхода к определению неизвестных потенциалов сетки. Первый вариант связан с непосредственным решением систем уравнений четырехугольников и диагональных уравнений. Этот способ связан с написанием матриц высокого ранга, в которых в основном содержаться нули и только вблизи главной диагонали появляются значения отличные от нуля.

При втором – итерационном – методе решения, сначала всем узлам сетки с неизвестными потенциалами приписываются из общих соображений оценочные потенциалы. Затем эти оценочные потенциалы уточняются по уравнениям 3.3 ¸3.8. Точность нахождения потенциала зависит от числа итераций, которое определяет время решения задачи. Шаг итерации означает однократный расчет потенциалов по всем узлам сетки. Сходимость метода зависит от таких параметров как конфигурация поля, направление обхода сетки, правильность задания оценочных потенциалов и т.п.

3.1.3. Дробление сетки

Точность определения параметров поля по дифференциальному методу зависит от шага сетки. Часто возникает ситуация, когда требуется уточнить параметры поля в области с резкими изменениями потенциала. Это означает, что после расчета параметров с выбранным шагом сетки требуется уменьшить шаг, т.е. раздробить сетку и найти потенциалы промежуточных точек. Такая операция выполняется непосредственно по формуле четырехугольника и диагональной формуле. Достаточность дробления сетки определяется по всем восьми точкам рис.3.1, а в разложении (3.1) учитываются шесть членов. В этом случае формула восьми точек рис.3.1 имеет вид:

(3.9)

При выполнении уравнения (3.9) дальнейшее дробление сетки можно прекратить.

Трехмерные поля

При расчете трехмерных полей по дифференциальному методу пространство заполняется кубической сеткой. Подобно формуле четырехугольника (3.3) в случае двумерной сетки можно получить формулу для куба:

(3.10)

и диагональную формулу

. (3.11)

Как и в случае плоского поля вычисления в трехмерном случае проводятся итерационным методом, однако объем вычислений резко возрастает. Поэтому указанный способ довольно трудоемок и предпочтение отдается методу эквивалентных зарядов.

Поля с цилиндрической симметрией

Трехмерные поля довольно часто обладают цилиндрической симметрией или приближенно могут быть заменены таковыми. Это позволяет свести задачу к двумерному полю, а при расчете использовать уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат.

Поскольку система имеет ось симметрии С_¥, производная от потенциала по q равна нулю и в разложении (3.2) остаются только производные по r и z, которые следует подставить вместо х и у. Формула четырехугольника и диагональная формула в случае цилиндрического поля принимают вид:

(3.12)

(3.13)

Для краевых условий (рис.3.4б) формула примет вид:

(3.14)

На оси симметрии при s=0 формулу четырехугольника (3.12) и диагональную формулу (3.13) использовать нельзя. Соответствующие им формулы имеют вид:

, . (3.15)