Глава 4. Спектральное представление периодических сигналов

Электрические сигналы, математическими моделями которых являются периодические функции времени, могут быть представлены в виде графического описания (рис. 6) и соответствующего ему аналитического представления. Любое периодическое несинусоидальное колебание можно разложить в бесконечный тригонометрический ряд, состоящий из постоянной составляющей и гармонических составляющих.
Рис. 6

Тригонометрический ряд, называемый еще рядом Фурье (24), имеет две формы записи.

В первой форме, кроме постоянной составляющей, присутствуют лишь синусоидальные или косинусоидальные составляющие с начальными фазами, не равными нулю:

. (25)

Во второй форме наряду с постоянной составляющей присутствуют синусоидальные и косинусоидальные составляющие, но с начальными фазами, равными нулю:

. (26)

В обеих формах записи использованы следующие обозначения: – номер гармоники; – круговая частота первой (основной) гармоники; – период колебания; – постоянная составляющая; – амплитуда –й косинусоидальной составляющей; – амплитуда –й синусоидальной составляющей.

Графическое изображение ряда Фурье (рис. 7) представляет собой спектральную диаграмму, которая дает наглядное представление о зависимости амплитуд гармоник (спектр амплитуд) и фаз гармоник (спектр фаз) от их частот.	Спектр амплитуд	Спектр фаз
Рис. 7

Ряд Фурье существенно упрощается, если имеет место какая–либо симметрия колебания относительно начала или осей координат. В табл. 2 приведены соответствующие упрощения.

Табл. 2
Кривая симметрична относительно:
1)	оси ординат (четная функция): . В спектре отсутствуют синусоидальные ( ) составляющие;
2)	начала координат (нечетная функция): . В спектре отсутствуют постоянная составляющая и косинусоидальные составляющие ( );
3)	оси абсцисс при совмещении двух полупериодов: . В спектре отсутствуют постоянная составляющая ( ) и четные синусоидальные и косинусоидальные составляющие ( );
4)	оси ординат и оси абсцисс при совмещении полупериодов: . В спектре отсутствуют постоянная составляющая ( ), все синусоидальные составляющие ( ) и четные косинусоидальные составляющие ( );
5)	начала координат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов: . В спектре отсутствуют постоянная составляющая ( ), все косинусоидальные составляющие ( ) и четные синусоидальные составляющие ( ).

Спектральная диаграмма (спектр) зависит от формы сигналов и их параметров. Пусть, например, необходимо построить спектральную диаграмму сигнала, графическое и аналитическое представление которого приведено на рис. 8. Параметры сигнала приведены рядом.

Рис. 8

Из сопоставления графического представления сигнала (рис. 8) с табл. 2 можно сделать вывод о том, что описывающая сигнал функция является четной, следовательно, в спектре сигнала отсутствуют синусоидальные ( ) составляющие. Постоянная составляющая в соответствии с приведенным ранее выражением находится следующим образом:

.

Амплитуды гармоник:

Таким образом, разложение данной функции в ряд Фурье может быть представлено следующим образом:

.

Из этого выражения можно сделать вывод о том, что амплитуды четных гармоник в спектре данного сигнала равны нулю . Остальные расчеты сведены в табл. 3., используя которую можно построить спектральную диаграмму данного сигнала (рис. 9).

Таблица 3 , кГц an An= 12,7 4,2 2,5
Рис. 9

Эти же расчеты позволяют записать аналитическое представление разложения рассматриваемого сигнала в ряд Фурье с конкретными числовыми коэффициентами

,

где

.

Из приведенного примера можно сделать следующие выводы:

1. Спектр периодической последовательности является дискретным, линейчатым.

2. Количество спектральных линий в одном лепестке огибающей спектра определяется скважностью, так как интервал между спектральными линиями обратно пропорционален периоду, а точки пересечения огибающей спектра с осью частот определяются в данном случае длительностью импульса ( ).

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько по иному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

(27)

Функции этой системы периодичны с периодом и ортонормированы на отрезке времени , так как

Функции из рассматриваемой системы принимают комплексные значения. Поэтому при вычислении скалярного произведения используется операция комплексного сопряжения ( ).

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид:

с коэффициентами .

Обычно используют следующую форму записи:

, (28)

. (29)

Выражение (28) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Спектр сигнала в соответствии с формулой (28) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (28) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

.

Положительной частоте соответствует вектор, вращающийся против часовой стрелки, а отрицательной частоте – вектор, вращающийся по часовой стрелке. Итак, отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

Структура ряда Фурье (28) дает возможность изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости.