Глава 2. Динамическое представление сигналов


 

Во многих технических задачах, например при вычислении отклика физической системы на известное входное воздействие, требуется специфическая форма представления сигнала. Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси.

Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных идеальных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе будет получено точное представление исходного сигнала.

Широкое распространение получили два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используют ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени (рис. 3). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени .
Рис. 3

Рассмотрим свойства такого элементарного сигнала. Пусть дан сигнал, математическая модель которого задается системой:

(1)

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из «нулевого» в «единичное» состояние. Переход совершается по линейному закону за время . Если параметр устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет совершаться мгновенно. Математическая модель этого предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда:

(2)

Рассмотрим некоторый сигнал , причем для определенности положим, что при . Пусть – последовательность моментов времени и – отвечающая им последовательность значений сигнала (рис. 4). Как видно из рисунка, текущее значение сигнала при любом приближенно равно сумме ступенчатых функций:
Рис. 4

.

Если теперь шаг устремить к нулю, то дискретную переменную можно заменить непрерывной переменной . При этом малые приращения превращаются в дифференциалы и получается формула динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда:

. (3)

При использовании второго способа элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую (рис. 5). Рассмотрим свойства такого элементарного сигнала.
Рис. 5

Математическая модель импульсного сигнала прямоугольной формы задается следующим образом:

(4)

При любом выборе значения параметра площадь этого импульса равна единице:

.

Пусть теперь величина стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому высота его должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при носит название дельта–функции или функции Дирака:

. (5)

Возвращаясь к рис. 5, обозначим – значение сигнала на –м отсчете. Тогда элементарный импульс с номером представляется следующим образом:

. (6)

В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых:

. (7)

В этой сумме отличным от нуля будет только один член, отвечающий тому номеру , который удовлетворяет неравенству .

Если подставить (6) в (7), предварительно разделив и умножив на величину шага , то

.

Переходя к пределу при , необходимо заменить суммирование интегрированием по формальной переменной , дифференциал которой будет отвечать величине .

Поскольку , получим искомую формулу динамического представления сигнала с помощью дельта–функции

. (8)

Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта–функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен -импульс.




Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 2479;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.