Переріз гранних поверхонь площиною

Перерізом називають плоску фігуру, яку отримують при перетині багатогранника площиною. Для побудови перерізів багатогранників використовують два способи: спосіб ребер, спосіб граней. Спосіб ребер передбачає розв’язання задачі на перетин прямої з площиною, причому виконується пошук точки перетину кожного бічного ребра з січною площиною.

Побудова перерізу значно спрощується, коли січна площина є проекціювальною (рис. 1.5.7). У цьому випадку фронтальна проекція перерізу 12345 вже відома, оскільки вона збігається з фронтальним слідом січної фронтально проекціювальної площини . Горизонтальну проекцію перерізу будуємо за законом належності точки ребру і по вертикальній відповідності. Далі методом заміни площин проекцій перетворюємо площину перерізу, яка є проекціювальною в системі , у площину рівня. Для цього будуємо вісь нової системи площин х₂₄ ll . Координати точок перерізу заміряємо на П₁ від осі х₁₂ і переносимо відповідно на П₄. Проекція площини перерізу 1₄2₄4₄5₄3₄ є натуральною величиною.

На рис. 1.5.8 наведено приклад побудови перерізу похилої трикутної призми, яка перетинається фронтально проекціювальною площиною .

Рисунок 1.5.7

Рисунок 1.5.8

Фронтальна проекція площини перерізу 1₂2₂3₂ збігається з фронтальним слідом площини . Горизонтальну проекцію перерізу визначаємо за допомогою вертикальної відповідності.

Криві поверхні

Поверхню можна утворити при переміщенні твірної (лінія яка утворює поверхню) по напрямній.

Циліндрична поверхня утворюється переміщенням прямолінійної твірної по криволінійній напрямній m, причому твірна залишається постійно паралельною заданому напряму s (рис. 1.6.1).

Якщо точки належать поверхні, то вона належить її твірній. Тіло, обмежене циліндричною поверхнею із замкнутою напрямною та двома паралельними площинами, називається циліндром. Частини площин, які обмежують циліндр, називають основами. Якщо твірні перпендикулярні до основи, то такий циліндр називають прямим, якщо ця умова не виконується – нахиленим. Циліндр називається коловим, якщо в його основі коло.

Конічна поверхня утворюється при переміщенні прямолінійної твірної по криволінійній напрямній m, причому твірна постійно проходить через нерухому точку S (рис. 1.6.2).

Рисунок 1.6.1

Рисунок 1.6.2

Поверхнею обертання називають поверхню, яка утворена будь-якою лінією (плоскою або просторовою) при її обертанні навколо нерухомої осі.

Кожна точка твірної при обертанні навколо осі описує коло, яке називають паралеллю. Найбільша і найменша паралелі називаються відповідно екватором і горлом.

Площини, що проходять через вісь обертання, називають меридіональними, а лінії, по яких вони перетинають поверхню, називаються меридіанами. Меридіональну площину, яка паралельна відповідній площині проекцій, називають головною меридіональною площиною, а лінію її перетину з поверхнею обертання – головним меридіаном.

У техніці знаходять широке застосування поверхні обертання: циліндр, конус, сфера, оскільки їх просто обробляти на токарних верстатах.

Тор утворюється при обертанні кола, яке є твірною l, навколо осі k, що належить площині цього кола (рис. 1.6.3).

У залежності від положення осі обертання відносно кола можливі такі випадки:

1) відкритий тор (рис. 1.6.3 а), коли відстань від центра кола О до осі обертання k більша від радіуса R твірного кола;

2) перехідний тор (рис. 1.6.3 б), коли вісь обертання k торкається твірного кола l, тобто t = R;

3) закритий тор (рис. 1.6.3 в), коли вісь обертання k перетинає твірне коло , тобто t < R;

4) сфера (рис. 1.6.3 г), коли вісь обертання k проходить через центр кола l, тобто t = 0. Сферу можна розглянути як окремий випадок тора.

а б в г

Рисунок 1.6.3

Лінію можна розглядати як сукупність розташованих по поверхні точок. Виникає запитання: скільки і які точки необхідно побудувати? Побудова великої кількості точок приводить до великих затрат часу.

Спочатку будують опорні точки, до яких належать точки початку і кінця лінії, точки на межі видимості, а також найвищі та найнижчі точки. Потім будують точки, які називають додатковими і вони впливають тільки на точність побудови.

Зазвичай на комплексному кресленні точку задають на одній із проекцій, і при цьому виникає задача знаходження інших проекцій цієї точки. Для розв’язання цієї задачі використовують умову належності точки поверхні: якщо точка належить поверхні, то вона належить деякій лінії цієї поверхні. Тому для знаходження необхідної проекції через задану точку проводять яку-небудь лінію поверхні. Як правило, у якості такої лінії використовують твірну або паралель. Потім знаходять другу проекцію цієї лінії, а потім, використовуючи властивість належності точки лінії, знаходять другу проекцію цієї точки.

На рис. 1.6.4 наведено приклад побудови відсутніх проекцій лінії по заданій фронтальній проекції лінії , яка належить поверхні прямого кругового конуса.

У якості опорних точок приймаємо точки A і B – начало і кінець лінії, а також точку С, точку перетину лінії з профільним меридіаном, а для точності побудови вибираємо ще дві допоміжні точки E і D.

Прямий круговий конус можна розглядати як поверхню обертання і як лінійчату поверхню. Тому для побудови горизонтальних проекцій точок, які належать поверхні конуса, існує два способи.

Рисунок 1.6.4

Якщо конус розглядати як поверхню обертання, то через задану точку, наприклад А, проводимо паралель h^A. Її фронтальна проекція h^A₂ є прямою, яка проходить через А₂ і перпендикулярно осі конуса, а горизонтальна проекція h^A₁ – коло радіуса h^A₂/2.

Фронтальною межею видимості для конуса є лінія його головного меридіана, а профільною межею видимості є лінія профільного меридіана.

Використовуючи властивість належності точки лінії, а також враховуючи видимість фронтальної проекції А₂ точки А, знаходимо горизонтальну проекцію А₁ точки А.

Для побудови профільної проекції А₃ точки А через А₂ проводимо горизонтальну лінію зв`язку і відкладаємо на ній від осі вправо У_А.

Якщо конус розглядати як лінійчату поверхню, то через точку А проводимо твірну m^А . Фронтальна проекція m^А₂ проходить через фронтальну проекцію А₂ точки А і в точці 1₂ перетинає фронтальну проекцію основи конуса. Потім будуємо горизонтальну проекцію 1₁ точки 1. Оскільки точка А₂ за умовою видима, то видимою буде і твірна m^А_2, яка проходить через неї. Тому горизонтальна проекція 1₁ точки 1 буде належати нижній половині горизонтальної проекції кола основи конуса.

З`єднуємо прямою точки ₁ і S₁ і отримуємо горизонтальну проекцію m^А₁ твірної m^А_. Використовуючи властивість належності точки лінії, отримуємо горизонтальну проекцію А₁ точки А.

Аналогічно знаходять горизонтальні проекції всіх вибраних точок і, з`єднавши їх плавною кривою, отримаємо горизонтальну проекцію ₁ лінії .

Далі будуємо профільні проекції точок, використовуючи лінії зв`язку і відстані до відповідних точок, які беремо з горизонтальної площини проекцій. Профільна проекція С₃ точки С належить профільному меридіану. Частина профільної проекції B_3, E_3, C₃ буде видимою, а частина С_3, D_3, A₃ – невидимою.

На рис. 1.6.5 наведено приклад побудови відсутніх проекцій лінії по заданій фронтальній проекції лінії , яка належить поверхні прямого колового циліндра.

У якості опорних точок приймаємо точки А і В – начало і кінець лінії l, а також точку С, точку перетину лінії l з профільним меридіаном, а для точності побудови вибираємо ще дві допоміжні точки E і D.

Бічна поверхня циліндра займає проекціювальне положення відносно горизонтальної площини проекцій, при цьому всі паралелі однакові і їх горизонтальні проекції збігаються з горизонтальним обрисом циліндра, яким є коло.

Рисунок 1.6.5

Тому горизонтальні проекції точок знаходять по вертикальній відповідності на горизонтальному обрисі циліндра. Горизонтальною межею видимості є лінія верхньої основи, тому вся горизонтальна проекція є l1 лінії l буде невидимою.

Для побудови профільної проекції А₃ точки А через точку А₂ проводимо горизонтальну лінію зв`язку і відкладаємо У_А на ній від осі вправо. Частина профільної проекції A₃E₃C₃ буде видимою, а частина C₃D₃B₃ – невидимою.

На рис. 1.6.6 наведено приклад побудови проекцій, яких не вистачає, лінії l, яка належить сфері, по заданій фронтальній проекції l₂.

У якості опорних точок приймаємо точки А і В – початок і кінець лінії l, а також D і C – точки перетину лінії l з екватором і профільним меридіаном сфери. Оскільки лінія l є кривою лінією, то вибираємо ще додаткові точки E, F, G.

Фронтальна проекція точки D належить фронтальній проекції екватора, тому її горизонтальна проекція належить горизонтальній проекції екватора. Існують дві точки, які задовольняють цій умові: одна на верхній половині обрисового кола, друга – на нижній.

Рисунок 1.6.6

Для правильного знаходження положення точки використовуємо дані про її видимість на фронтальній площині проекцій, де вона є видимою. Фронтальною межею видимості для сфери є горизонтальна проекція головного меридіана, тому горизонтальна проекція D₁ належить нижній половині обрисового кола сфери.

Порядок знаходження горизонтальних проекцій інших точок однаковий. Розглянемо знаходження горизонтальної проекції А₁ точки А. Через точку А проводимо паралель. Її фронтальна проекція h^A₂ є прямою, яка перпендикулярна до фронтальної проекції осі сфери, а горизонтальна проекція h^A₁ – коло радіуса h^A₂/2 з центром, який збігається з горизонтальною проекцією осі сфери.

Горизонтальною межею видимості для поверхні сфери є екватор. Фронтальна проекція А₂ лежить вище екватора і є видимою, тому на П₁ горизонтальна проекція А₁ є видимою і буде знаходитися на нижній половині кола h^A₁, тому що фронтальною межею видимості для сфери є головний меридіан. Аналогічно знаходимо положення і видимість горизонтальних проекцій інших точок.

Потім з`єднуємо отримані точки плавною кривою з урахуванням видимості. Частина горизонтальної проекції лінії ₁ буде видимою: A₁E₁C₁F₁D₁, а частина D₁G₁B₁ – невидимою.

Для побудови профільної проекції А₃ точки А через А₂ проводимо горизонтальну лінію зв`язку і відкладаємо на ній від Z<sub>3</sub> вправо величину, що дорівнює У<sub>А</sub>. Аналогічно будуємо профільні проекції інших точок. Для побудови профільної проекції С<sub>3</sub> точки С достатньо провести горизонтальну лінію зв`язку із С₂ до перетину з профільною проекцією профільного меридіану.

Профільною межею видимості для поверхні сфери є профільний меридіан. Частина лінії від точки В до точки С знаходиться перед площиною профільного меридіана, тому профільна проекція цієї частини лінії буде видимою, а частина C₃ E₃A₃ – невидимою.