ПРИЛОЖЕНИЕ К. Законы сохранения энергии и импульса при испускании и поглощении фотонов

Законы сохранения энергии и импульса нередко накладывают запрет на протекание электромагнитных процессов в вакууме, если только эти процессы не сопровождаются изменением внутреннего состояния частиц. Продемонстрируем это на примере электрона как частицы, не имеющей состояний, связанных с внутренним возбуждением. Диаграмма, изображенная на рис. К, соответствует следующим процессам: 1) испусканию фотона свободным электроном; 2) поглощению фотона свободным электроном; 3) однофотонной аннигиляции электрона и позитрона; 4) распаду фотона на электрон и позитрон. Покажем, что ни один из четырех процессов не имеет места в отсутствие других частиц.

При испускании или поглощении фотона свободным электроном закон сохранения энергии будет выглядеть как

(К.1)

где β₁ > β₂, т.е. индекс «1» относится к электрону с более высокой энергией. При однофотонной аннигиляции или образовании электрон-позитронной пары

(К.2)

Выразим для удобства импульсы частиц в единицах m_ec. Для электронов

. (К.3)

Для фотона из (К.1) и (К.2) получаем

. (К.4)

Так как один из импульсов равен векторной сумме или разности двух других, векторы импульсов образуют треугольник. Значит, неравенство треугольника должно выполняться для любой пары импульсов. Покажем, что при образовании электрон-позитронной пары не выполняется неравенство

. (К.5)

Подставляя в (К.5) результаты (К.3) и (К.4), имеем:

. (К.6)

Так как скорость электрона всегда меньше скорости света в вакууме, β₁ и β₂ всегда меньше единицы. Следовательно, неравенство (К.6) не может быть выполнено. Таким образом, образование фотоном электрон-позитронной пары в вакууме невозможно, как невозможен и обратный процесс однофотонной аннигиляции.

При испускании фотона свободным электроном нарушается неравенство

, (К.7)

или

. (К.8)

Действительно, после преобразований (К.8), имеем следующее:

Так как по условию β₁ > β₂, то

.

Очевидно, что последнее условие невыполнимо, а поэтому невозможно ни испускание, ни поглощение фотона свободным электроном.