Натуральный триэдр траектории.
О |
N |
Рис 19 |
(2.1)
М1 |
М2 |
М |
СП |
НП |
Гл. нормаль |
бинормаль |
Рис 20 |
r |
О |
Величину или модуль производной будем обозначать через . Модуль производной вектора не равен значению производной его модуля.
(2.2)
При дифференцировании векторов сохраняются те же правила, что и при дифференцировании функций:
производная геометрической суммы (разности) вектор–функции равна геометрической сумме (разности) производных. Точно так же сохраняется и правило дифференцирования произведения скалярной функции X (u) на вектор :
Понятие вектор – функции и её производной облегчают рассмотрение основных геометрических свойств траектории, необходимых для развития представления о скорости и ускорения точки. Рассмотрим некоторую кривую, лежащую (вообще говоря) не в одной плоскости. Возьмём на этой кривой три точки М1, М2 и М. Проведём через эти три точки плоскость (предполагается, что три точки не лежат на одной прямой). Устремим точки М1 и М2 к точке М. Проведённая плоскость при этом будет каким – то образом поворачиваться и займёт предельное положения, когда все три точки сольются. Это предельное положение назовём соприкасающейся плоскостью (СП), в которой проведём касательную к кривой в точке М. Орт касательной в точке М обозначим . Проведем в точке М плоскость перпендикулярную к орту , эту плоскость назовём нормальной плоскостью (НП) кривой. Любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку М, будет перпендикулярна к , т. е. будет нормалью кривой; линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей определяет главную нормаль кривой. Иными словами, главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости. Нормаль, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью кривой. Если, в частности, кривая — плоская, то соприкасающейся плоскостью будет плоскость, в которой расположена кривая, а главной нормалью — нормаль кривой, лежащая в этой плоскости.
Совокупность трех взаимно перпендикулярных осей: 1) касательной, направленной в сторону возрастания дуги, 2) главной нормали, направленной в сторону вогнутости кривой, и 3) бинормали, перпендикулярной к касательной и главной нормали образует так называемый натуральней триэдр кривой.
Единичные векторы этих осей обозначим соответственно через . Найдем выражения этих трех единичных векторов натурального триэдра через вектор-радиус точки на кривой, заданный как вектор-функция дуги: . Найдем прежде всего . По определению векторной производной вектор направлен по касательной к годографу вектора в сторону возрастания дуги S. С другой стороны, численная величина производной равна . Таким образом, векторная производная представляет искомый единичный вектор касательной
(2.3)
М |
М1 |
Δτ |
ΔS |
α |
Рис 21 |
Таким образом, имеем следующее выражение орта главной нормали . Или в более привычной записи
(2.4)
Скорость точки.
Пусть за время точка пройдет по заданной траектории путь , тогда отношение характеризует среднюю быстроту изменения пути со временем за интервал или среднюю скорость движения точки за этот интервал. Предел средней скорости за интервал , при , называется скоростью в данный момент t
траектория |
Рис 22 |
или
(2.5)
Вектор скорости точки равен векторной производной вектор-радиуса точки по времени и направлен по касательной к траектории движения точки. Разложим вектор-радиус по соответствующим осям декартовой системы координат
.
Дифференцируя обе части этого равенства по времени и учитывая, что орты постоянны по величине и направлению будем иметь
,
что позволяет записать
. (2.6)
Модуль скорости равен
Ускорение точки.
В общем случае движение точки происходит с переменной по величине и по направлению скоростью. Желая охарактеризовать изменение скорости, вводят меру быстроты этого изменения со временем — ускорение, которое должно учитывать векторное (геометрическое) изменение скорости, т. е. изменение ее по величине и по направлению. Для этого рассмотрим (как и для скорости) два значения скорости в моменты времени , и определим ускорение как
(2.6)
Если радиус – вектор представлен разложением по ортам декартовой системы координат
, тогда
и
.
Модуль ускорения равен
.
Считая координатами точки N – конца вектора , можно рассматривать вектор скорости, согласно (2.5), как скорость конца вектора , а считая - координатами точки М – конца вектора , можно рассматривать вектор ускорения, как скорость конца вектора . Применяя полученные выражения единичных вектором осей натурального триэдра траектории, найдем составляющие вектора ускорения по этим осям. Вспомнив, что вектор ускорения есть производная по времени от вектора скорости, получим
,
но , откуда следует
(2.7)
Равенство (2.7) представляет собой разложение вектора ускорения по осям натурального триэдра. Обозначив коэффициенты при единичных векторах, и записав проекции ускорения на оси натурального триэдра, соответственно через будем иметь:
причем из (2.7) следует, что
Последнее равенство говорит о том, что вектор ускорения перпендикулярен к бинормали, т. е. ускорение лежит в соприкасающейся плоскости. Первое слагаемое в разложении (2.7) - дает касательную (тангенциальную) составляющую ускорения, второе - нормальную составляющую ускорения. Иногда для кратко
траектория |
Рис 23 |
Итак, вектор ускорения в криволинейном движении может быть представлен как геометрическая сумма двух ускорений: касательного и нормального. Величина ускорения может быть представлена так:
Рассмотрим два частных случая:
а) Случай равномерного движения; величина скорости постоянна, так что , и величина ускорения равна в этом случае
б) Случай прямолинейного движения; кривизна прямой линии равна нулю и, следовательно, , и .
Из сопоставления этих двух случаев следует, что в равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю.
Отметим, что не следует смешивать и так как первое выражение определяет величину полного ускорения, а второе - абсолютное значение лишь одной его касательной составляющей. На различие этих величин указывалось уже выше (формула (2.2)). Разложение ускорения на касательную и нормальную части имеет простое кинематическое значение. Вектор ускорения, определяющий быстроту изменения вектора скорости по величине и направлению, представляется суммой касательного ускорения, характеризующего изменение величины скорости, и нормального, характеризующего изменение ее по направлению.
Дата добавления: 2016-08-06; просмотров: 1879;