Теорема. Достаточные условия экстремума.

Правило 1. Если функция непрерывна в точке и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, возможно, самой точки и при переходе через точку производная функции меняет знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Если же при переходе через точку производная функции не меняет знак то в точке х₀ функции экстремума не имеет.

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда производная меняет знак с плюса на минус. Это значит, что слева от точки функция возрастает, т. е. а справа — убывает т. е. ч.т.д.

Правило 2. Если в окрестности точки вторая производная непрерывна, причем , а , то функция в точке x₀ имеет экстремум, а именно максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Рассмотрим случай . Так как непрерывна, то существует некоторая окрестность точки , в которой . Тогда в этой окрестности функция будет убывающей. Но при выполнено . Следовательно, при переходе (слева направо) через точку функция меняет знак с «плюса» на «минус». А это значит, что в точке функция имеет максимум.

Правило 3. Пусть В этом случае функция имеет в точке х₀ экстремум, если n — четное число, а именно, максимум при и минимум при Если же n — нечетное число, то функция в точке х₀ экстремума не имеет.

Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример 4.22.Найти интервалы монотонности, экстремумы функции и построить ее график.

Решение.

1.

2.

3. Находим критические точки первого рода: при не существует при .

4. Критические точки разбили область определения на интервалы. Определяем знаки производной на каждом интервале.

x		-2
	-		+		-		+
y
		min		max		min

Строим график.

Рис. 4.14

Пример 4.23.Найти интервалы монотонности, экстремумы функции и построить ее график.

Решение.

1.

2. .

3. Находим критические точки первого рода. при

не существует: в области определения производная везде существует.

4. Критическая точка разбила область определения на интервалы. Определяем знаки производной на каждом интервале.

, ,

.

x
	-		+
y		min

Строим график.

	Если Если

Рис. 4.15