Теорема. Достаточные условия экстремума.

Правило 1. Если функция непрерывна в точке и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, возможно, самой точки и при переходе через точку производная функции меняет знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Если же при переходе через точку производная функции не меняет знак то в точке х₀ функции экстремума не имеет.

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда производная меняет знак с плюса на минус. Это значит, что слева от точки функция возрастает, т. е. а справа — убывает т. е. ч.т.д.

Правило 2. Если в окрестности точки вторая производная непрерывна, причем , а , то функция в точке x₀ имеет экстремум, а именно максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Рассмотрим случай . Так как непрерывна, то существует некоторая окрестность точки , в которой . Тогда в этой окрестности функция будет убывающей. Но при выполнено . Следовательно, при переходе (слева направо) через точку функция меняет знак с «плюса» на «минус». А это значит, что в точке функция имеет максимум.

Правило 3. Пусть В этом случае функция имеет в точке х₀ экстремум, если n — четное число, а именно, максимум при и минимум при Если же n — нечетное число, то функция в точке х₀ экстремума не имеет.

Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее).