Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

где р — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

После преобразования получим формулу для определения напря­жений в точке поперечного сечения:

При ρ = 0 τ_к = 0; касательное напряжение при кручении про­порционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл J_p (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. J_p является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для J_p показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)