Некоторые типы иррациональных уравнений
Пусть далее некоторые выражения с неизвестной , .
I тип: . (1)
Возведение в ю степень приводит к равносильному уравнению
.
Уравнение (2)
после возведения в ю степень сводится к равносильному уравнению .
. (3)
Возведение в степень 2n приводит к уравнению-следствию
, (4)
Найденные корни уравнения (4) проверяют подстановкой в (3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (3).
Уравнение
, (5)
после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию
. (6)
Корни уравнения (6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5).
II тип:
, (7)
где .
1 способ. Необходимо возвести уравнение (7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.
2 способ. Умножение уравнения (7) на сопряженное выражение
.
Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение h(x) = 0. Затем для h(x) ¹ 0 рассматривают систему
Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (3).
3 способ. Замена переменных
и переход к системе уравнений относительно u, v.
, (8)
где a, b Î R.
Возведением в куб обеих частей уравнение (8) сводится к уравнению
. (9)
Выражение в скобках (в левой части уравнения (9)) заменяют на , используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.
Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (8).
III тип. Уравнения, решаемые заменой переменной.
В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.
Если уравнение имеет вид
, (10)
где F – некоторое алгебраическое выражение относительно , то заменой оно сводится к уравнению
. (11)
После решения уравнения (11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (10).
IV тип. Уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения
, (12)
где a > 0, b > 0, сводится к решению системы
V тип. Уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.
Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.
1. Если и для всех , то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для xÎX, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.
3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение равносильно уравнению .
4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение равносильно уравнению .
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
.
Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:
.
Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз.
Решая последнее квадратное уравнение, находим корни , которые теперь необходимо проверить. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Первый корень не подходит.
Приходим к ответу: .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Возведем обе части уравнения в куб:
Воспользовавшись исходным уравнением, заменим выражение выражением . Получаем
.
Решаем совокупность уравнений
В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, т.к. такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.
Приходим к ответу:
Пример 3. Решить уравнение
.
Решение.Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.
Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:
Заменив , получаем квадратное уравнение
.
Решая его, находим корни .
Возвращаемся к исходной неизвестной:
Первое уравнение решений не имеет, т.к. его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем
, т.е. .
Его корни . С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят, т.е. приходим к ответу: .
Пример 4.Решить уравнение .
Решение.Способ 1. Перенесем второй корень вправо:
.
Возводим обе части в квадрат:
Еще раз возводим в квадрат и получаем квадратное уравнение, решая которое и получаем корни . Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Оба корня подходят.
Способ 2. Введем замену , тогда , . Таким образом получили более простое уравнение
, т.е. .
Возведем его в квадрат:
Возвращаемся к исходной неизвестной:
.
Возводим обе части уравнения в квадрат:
, откуда .
При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.
Способ 3.Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим
Сложим последнее уравнение с исходным. Получим
, т.е. .
Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение
.
Решая его, находим корни .
Приходим к ответу: .
Пример 5.Решить уравнение .
Решение.Пусть . Тогда и , по условию.
Получили систему
Решая ее методом подстановки
Второе уравнение решим отдельно
;
;
;
.
Получаем корни
Возвращаемся к системе:
Получаем
Переходим к заданным неизвестным:
Решая последнюю совокупность, находим корни и . С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят.
Получили ответ: , .
При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, т.к. проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.
Пример 6.Решить уравнение
.
Решение.Найдем ОДЗ данного уравнения:
Решаем последнюю систему неравенств (рис. 10)
Рис.10
Получили, что ОДЗ состоит из единственной точки .
Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:
.
Получили, что – решение.
Пример 7.Решить уравнение
.
Решение: Используем графический способ. Строим графики функций , (рис.11).
Рис.11
Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке x = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем x = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.
Получили ответ: x = 7.
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1762;