Степень с произвольным действительным показателем

Степени и корни

5.1 Корень ой степени

Для всякого числа a Î R определена степень с натуральным показателем aⁿ, n Î N.

Число b Î R называется корнем n-й степени, n Î N, n ³ 2, из числа а, если , обозначают .

Нахождение корня n-й степени из данного числа а называют извлечением корня n-й степени из числа а. Число а, из которого извлекается корень n-й степени, называют подкоренным выражением, а число n – показателем корня.

Если , то определен для всех a Î R и принимает любые действительные значения.

Если , то определен для всех a ³ 0 (aÎR). В курсе элементарной математики рассматривают арифметическое значение корня, т.е. число .

Свойства корней

Пусть a, b Î R. Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6) , (где a ³ 0 в случае );

7) , (где в случае );

8) (где в случае ).

Пример 1.Вычислить .

Решение. Способ 1. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:

;

.

Тогда получим

.

Способ 2. Обозначим вычисляемое выражение через a, т.е.

. Заметим, что .

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Тогда .

Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем a = 4.

Пример 2. Упростить: .

Решение. Способ 1. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем

.

Способ 2. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене переменных.

Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись: .

Заданное выражение приобретает вид

.

Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:

.

Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу .

Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1. Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:

2. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:

.

3. Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения:

Задания

I уровень

1.1. Вычислите значения корней:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

1.2. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6) и ;

7) и ; 8) и 1;

9) и ; 10) и ;

11) и ; 12) и ;

13) и ; 14) и .

1.3. Упростите выражение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ; 13) ;

14) ; 15) .

1.4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

II уровень

2.1. Упростите выражение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

2.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) .

2.3. Упростите выражение:

1) ;

2) .

III уровень

3.1. Упростите выражение:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) .

3.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

Степень с произвольным действительным показателем

Во множестве R определена степень a^x с действительным показателем.

В выражении a^x число а называют основанием степени, число x показателем степени. Нахождение значения степени называют возведением в степень.

Степень с действительным показателем

Пусть a Î R, тогда:

1) , n Î N;

2) ;

3) ;

4) и a ³ 0, если ;

5) и если , то a ³ 0

6) и если , то ;

7) , где , определяется следующим образом.

Пусть иррациональное число k записано в виде десятичной дроби, – последовательность его десятичных приближений с недостатком (или с избытком). Для любого действительного числа а > 0 степень с иррациональным показателем определяется равенством

.

На множестве R не определены отрицательная и нулевая степень числа 0, а также , если .

Свойства степеней

Допустим, что a, b, c Î R и это такие числа, что все степени имеют смысл. Тогда:

1) ;

2) ;

3) ,

4) ;

5) ;

6) если a > 1 и x < y, то ,

если 0 < a < 1 и x < y, то ;

7) если 0 < a < b и x >0, то ,

если 0 < a < b и x < 0, то .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Используем свойства степеней

Пришли к ответу: .

Задания

1.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

1.2. Выполните действия:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ; 9) .

1.3. Найдите из уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1.4. Упростите выражение:

1) .

II уровень

2.1. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

2.2. Упростите выражение:

1) ;

2) ;

3) .

III уровень

3.1. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) .

4) ;

5) .

3.2. Найдите значение выражения:

1) при ;

2)

Степенная функция

Функция , где переменная величина, заданное число, называется степенной функцией.

Если , то линейная функция, ее график прямая линия (см. 4.3.).

Если , то квадратичная функция, ее график – парабола (см. 4.3.).

Если , то , ее график – кубическая парабола (см. 4.3.).

Степенная функция .

Это обратная функция для .

1Область определения: .

2Множество значений: .

3Четность и нечетность: функция нечетная.

4Периодичность функции: не периодическая.

5Нули функции: x = 0 –единственный нуль.

6Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

7Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8График функции симметричен графику кубической параболы относительно прямой y = x и изображен на рис. 1.

Рис. 1

Степенная функция , .

1. Область определения: .

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция четная.

4. Периодичность функции: не периодическая.

5. Нули функции: единственный нуль x=0.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для x=0, оно равно 0.

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке .

8. График функции (для каждого n Î N) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций изображены на рис. 2.

Рис. 2

Степенная функция , .

1. Область определения: .

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция нечетная.

4. Периодичность функции: не периодическая.

5. Нули функции: x=0 – единственный нуль.

6. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .

7. Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8. График функции (для каждого ) «похож» на график кубической параболы.

(графики функций изображены на рис. 3).

Рис. 3

Степенная функция, .

1Область определения: .

2Множество значений: .

3Четность и нечетность: функция нечетная.

4Периодичность функции: не периодическая.

5Нули функции: нулей не имеет.

6Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .

7Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.

8Асимптоты: (ось Оу) – вертикальная асимптота;

(ось Ох) – горизонтальная асимптота.

9График функции (для любого n) похож на график гиперболы (графики функций изображены на рис. 4).

Рис. 4

Степенная функция, , .

1Область определения: .

2Множество значений: .

3Четность и нечетность: функция четная.

4Периодичность функции: не периодическая.

5Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .

6Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на и убывающей на .

7Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;

y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.

8Графиками функций являются квадратичные гиперболы (рис. 5).

Рис. 5

Степенная функция,

1Область определения: .

2Множество значений: .

3Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.

4Периодичность функции: не периодическая.

5Нули функции: x=0 – единственный нуль.

6Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, принимает в точке x=0; наибольшего значения не имеет.

7Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для при условии .

9График функции «похож» на график функции при любом n и изображен на рис. 6.

Рис. 6

Степенная функция, .

1Область определения: .

2Множество значений: .

3Четность и нечетность: функция нечетная.

4Периодичность функции: не периодическая.

5Нули функции: x=0 – единственный нуль.

6Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом .

7Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.

8График функции изображен на рис. 7.

Рис. 7

Пример 1. Построить график функции:

1) ; 2) .

Решение. 1. Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:

1) строим график функции ;

2) график функции получаем из графика функции путем движения его на 1 единицу вправо по оси и на 2 единицы вниз по оси ;

3) график исходной функции получаем из графика функции : оставляем часть графика, которая находится справа от оси и на оси , остальную отбрасываем, а оставшуюся часть отображаем симметрично оси (рис.8).

Рис. 8

2. Преобразуем функцию к виду . Заметим, что . График этой функции получаем путем следующих преобразований:

1) строим график функции ;

2) график получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси ;

3) график функции получаем из предыдущего смещением на 4 единицы вправо по оси ;

4) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на 2 единицы вниз по оси (рис.9).

Рис. 9

Задания

I уровень

1.1. Определите, принадлежит ли точка графику функции :

1) ;

2) ;

3) ;

4)

1.2. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1.3. Постройте график функции и определите область ее значений:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

2.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

4) ; 4) .

III уровень

3.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3.2. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обеих функций. постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

1) ; 2) .

3.3. Найдите множество значений функции:

1) ; 2) .