Неравенства с двумя переменными и их системы
Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:
(или знак )
где – некоторое выражение с данными переменными.
Решениемнеравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.
Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.
Системы, содержащие неравенства с двумя переменными вида называются системами неравенств с двумя переменными. Решением данных систем является пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.
Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид
Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.
Пример 1.Решить систему
Решение.Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):
Уравнение задает окружность с центром в точке О¢(0; 1) и R = 2.
Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0).
Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.
Рис.19
Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).
Задания
I уровень
1.1. Решить графически:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ;
8)
II уровень
2.1. Решите графически:
1) 2)
3)
2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:
1) 2) 3)
2.3. Найдите все целочисленные решения системы:
1) 2)
3)
2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами
.
III уровень
3.1. Найдите количество целочисленных решений системы
3.2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет решение:
1) 2)
3.3. Определите, при каких значениях а неравенство имеет положительные решения?
3.4. Определите, при каких значениях а система имеет единственное решение:
1) 2) ;
3)
3.5. В зависимости от а определите число решений системы
3.6. Решите графически:
а) б)
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 4936;