Гармония золотых пропорций

В архитектуре известно, что объекты, построенные с соблюдением золотых пропорций, обладают высокими эстетическими качествами и гармоничностью своих частей. Для древних греков, широко применявших золотые пропорции в проектировании своих сооружений, условием гармонии или устойчивого совершенства являлось присутствие пропорциональной связи между всеми элементами сооружения. Да и само слово «гармония» означает в переводе с древнегреческого – «связь». А гармоничное сочетание частей в целом выражается через числовое соотношение – пропорции. Можно сказать, что гармония это система качеств, пропорционированная природе. Или, другими словами, разнообразие элементов (предметов, фигур, чисел и т.д.), пропорционированное природным параметрам. Что же обусловливает появление гармонии? Какие качества свидетельствуют о ее наличии?

К гармонически выдержанным искусственным или числовым системам, отображающим природные процессы, можно отнести совокупность следующих свойств:

Пропорционирование элементов золотому числу.

Единство целого в многообразии.

Всеобщая взаимосвязь между элементами.

Структурность одного отношения, позволяющая восстанавливать систему по минимуму исходных данных.

Отсутствие случайных операций и элементов в системе.

Степенная и арифметическая комбинаторика элементов.

Память числа (каждый элемент помнит о наличии остальных). И т.д.

Все эти свойства можно и не перечислять, ибо они заложены в пропорционировании по золотому числу. Но, к сожалению, ученые еще не научились понимать и использовать золотое сечение так, чтобы его можно было применять ко всем природным явлениям. Мы не собираемся рассматривать всю гамму взаимосвязей гармонических систем, некоторые их аспекты будут отображены в дальнейшем. Покажем только элементы гармонии в геометрии и для наглядности приведем из Библии пример восстановления основных параметров Храма, построенного царем Соломоном для Господа, точные размеры которого к настоящему времени утеряны. А сейчас вернемся к ряду 1.

Архитектор А. Пилецкий, изучая числовые системы архитектурного пропорционирования, обратил внимание на то, что числам рядов Фибоначчи свойственна многовариантная слагаемость членов с получением результатирующего числа в их же системе [25]. Например:

3 + 5 = 8; 3 + 5 + 13 = 21; 3 + 5 + 13 + 34 = 55 и т.д.

Эти арифметические комбинаторные свойства рядов являются первым признаком гармоничности создаваемой системы. И система имеет тем большую гармонию, чем более высокими комбинаторными свойствами обладают ее члены, чем лучше они связаны между собой и чем более они отображают природу. Возможно, поэтому природа, в том числе и живая, постоянно использует в своей структуре и компоновках элементы золотых пропорций и ряды типа Фибоначчи. И числовая система А. Пилецкого из строк Фибоначчи и столбцов Паскаля (таблица 3), обладает более высокими комбинаторными возможностями, чем отдельные ряды Фибоначчи. В ней взаимозависимость между членами рядов распространяется на все поле. Покажем это на примере получения одного и того же результата слагаемыми из разных рядов (табл. 3):

3 + 52 = 55; 4 + 5 + 13 + 16 + 17 = 55;

2 х 3 + 2 х 6,5 + 2 х 8 + 2 х 10 = 55 и т.д.

Возможны не только действия сложения и вычитания чисел, но и пропорционирование многих из них. Однако наивысшими комбинаторными «способностями» обладают матрицы типа русских матриц, фрагмент одной из которых показан ранее (матрица 1). В них проявляется первый признак гармоничности – взаимное степенное пропорционирование чисел всего поля. Именно это свойство заложено в структуру древнерусских саженей [23] и оно же отображается в проективной геометрии как сложное отношение четырех точек. Это настолько важное, для понимания геометрии и физики, отношение, что мы, опираясь на [26], вкратце изложим его получение:

«Пусть в некоторой плоскости имеется окружность и точка М вне - ее (рис. 46). Из этой точки (даже если она бесконечно удалена) можно провести две касательные. Точки касания определяют единственную прямую m. Точка М становится полюсом прямой m, а прямая m – полярой точки М. Через полюс и центр окружности проведем прямую. Она пересечет окружность в точках А и В, а поляру в точке N. Таким образом, на этой прямой получатся две пары точек: одна пара на окружности, а вторая полюс и точка на поляре. Оказывается, отношение длин отрезков АN и NВ равно отношению длин отрезков АМ и МВ. Его можно записать в виде равенства:

ôANô/ ôNBô = ôAMô/ôMBô,

или равносильного ему равенства

(ôANô/ôNBô): (ôAMô/ôMBô) = 1 - const.» (3.28)

Принято говорить, что точки N и М делят отрезок АВ гармонически или, что на прямой имеется «гармоническая четверка точек»: А, N, В, М».

Сложное отношение (3.28) - основное отношение гармонического пропорциониро-вания в проективной геометрии. Оно пронизывает все девять проективных геометрий. Но оно избыточно. Для построения гармоничес-ких систем всех элементов проективной геометрии нужно не четыре, а три точки. Те самые три точки, которые появляются при делении отрезка в крайнем и среднем отношении. Три точки необходимо и достаточно для построения гармоничной бесконечной системы отрезков на рис. 46. Три числа необходимы и достаточны для построения каждой (кроме объемной) золотой матрицы. Три свойства необходимы и достаточны для нахождения всех параметров любой отдельной физической системы. На числе три базируется вся теория физической размерности. Да и в православной религии, как и во многих других, число три, отображающее духовную взаимосвязь между действующими личностями: Отец, Сын и Дух Святой, занимает очень значимое положение, отображая всю систему духовного взаимодействия.

Все начинается с числа З. (Вспомним пословицу: «Бог троицу любит».) И не потому, что оно простое и, находясь в натуральном ряду после двух, в некоторых случаях имеет значение «много», а потому, что число два создает размерность, обусловливая появление эталонного размера, а число три соразмерность, обусловливая появление гармонии в системе. Для нахождения гармоничных золотых фигур проективной геометрии начнем построение с деления отрезка в крайнем и среднем отношении методом, например, двумерного квадрата (рис. 47). Возьмем отрезок ВА произвольной длины и проведем деление в крайнем и среднем отношении методом двойного квадрата. Порядок деления отрезка показан пунктиром. В результате деления получили на прямой три точки В, N, А и два отрезка АN и ВN, отношение которых АN/NВ = 1,618, длина же в см АN = 2,057 см, а ВN = 1,272 см. Прямая ТТ¢, перпендикуляр, восстановленный из точки N, становится полярой четвертой, отсутствующей на чертеже точки М. Обозначения соответствуют рис. 46. Перенесем три точки на новую прямую (рис. 48) и определим для них четвертую точку – полюс М. Полюс можно отыскать двумя способами: геометрическим и проективным. На рис. 48 показаны оба способа. Геометрическим способом делим отрезок АВ пополам и из центра циркулем проводим окружность, у которой АВ – диаметр. К точке пересечения окружности с полярой ТТ¢ проводим касательную МД. Ее пересечение в точке М с продолжением диаметра и будет полюсом - четвертой гармонической точкой. Построение проективное: Проводим из точки В две «случайные» прямые 1 и 2 (все обозначены пунктиром). Из точки N проводим прямую 3 до пересечения с прямой 1 в точке 6. Из точки А проводим в точку 6 прямую 4, и из нее же через точку пересечения прямых 2 и 3, проводим прямую 5. Через точки пересечения прямых 1 и 5, 2 и 4 проводим прямую МК, которая и пересечет продолжение диаметра АВ в той же точке М, и снова получаем четвертую гармоническую точку

– полюс. Проведя прямые АL и ВL получим вписанный прямоугольный треугольник АLВ составленный из двух подобных треугольников ВLN и АLN. Зная длину отрезков АN = 2,058 см и ВN = 1,272 см, определяем длины всех отрезков между найденных точек. Получаем: АВ = 3,33 см, NL = 1,618 см, ВL = 2,058 см, АL = 2,618 см, МВ = 5,39 см, МL = 6,85 см, АМ = 8,72 см. Все модули этих отрезков входят в восходящую ветвь русского ряда золотых чисел [23]:

1; 1,272; 1,618: 2,058; 2,618; 3,330; 4,236; 5,388; 6,854; 8,718; … (3.29)

Ряд (3.29) можно разложить на ряд Пилецкого:

…; 1,000; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; …

…; 1,272; 2,058; 3,330; 5,388; 8,718; …

получив фрагмент удивительной многобазисной русской матрицы.

Все образовавшиеся точки связаны отрезками, модули длин которых кратны золотому числу Ф = 1,618 и, следовательно, эти точки квантованы гармонически через Ф, которая и лежит в основах проективных геометрий. Построение точек можно продолжить используя систему найденных точек и на прямой и на поляре, например, проведя из точки А радиусом АВ дугу до пересечения с полярой. Отсеченная часть поляры будет иметь длину -2,618 см, длина же касательной от этой точки до точки пересечения М¢¢ будет равна 4,236 см, и т.д.

Следует обратить внимание на то, что с возрастанием количества искомых точек их сложное пропорционирование отображается отрезками не только на прямой, на которой расположен отрезок АВ, но и сопровождается пропорционированием поляры по золотому числу. И ее также можно использовать для нахождения последующих гармонических точек.

Количество взаимосвязанных точек бесчисленно и путем построения, как геометрическим методом, так и методами проективной геометрии можно получить любое их гармоничное количество, начиная с трех первых.

Нахождение проективными методами геометрической золотой пропорции обусловливает появление сложных отношений не только между отрезками и точками проективной геометрии подобных (3.28), но и между модулями этих отрезков. Причем пропорционирование проявляет себя в степенной форме, образуя своеобразную геометрическую степенную комбинаторику, связывающую в единую систему все многообразие получаемых проективными методами модулей. Приведем несколько примеров:

ВL/АN = 1 - const. АВ/ВN³ = 1 - const. ВL² ×МВ×АL/АВ⁴×ВN = 1 - const.

МL²/АВ²×NL²×ВN²− const. МL² =АВ²×NL²×ВN²-const. И т.д. (3.30)

Основой геометрической степенной комбинаторики, образующей гармонические системы, включая систему физической размерности, является в своей совокупности класс русских матриц. Именно всеобщая взаимосвязь членов числового поля русских матриц становится качественной основой математической гармонии и описывает гармонию природных, геометрических и физических систем.

Это свойство гармоничных фигур и комбинаторика, степенная и арифметическая, чисел обусловливает, например, возможность восстановления отдельных элементов фигур или чисел в том случае, когда они оказываются утраченными или еще не были найдены. Естественно, такое возможно только в том случае, когда построение фигур, или уравнения, связывающие утраченные числа, базируются на золотых пропорциях. Ибо золотые пропорции это гармоническая система, обеспечивающая взаимосвязь всех своих членов. Приведем пример восстановления размеров храма Господа, построенного Соломоном. Предварительно отметим, что существуют соизмерительные инструменты – древнерусские сажени в количестве 15, восстановленные А. Пилецким, названная им «Всемером», и базирующиеся на золотом числе. Операции соизмерения, проводимые в древности с комплексом древнерусских инструментов – саженей, до сих пор остается непонятными не только для широкой общественности, но и для специалистов, реставрирующих древние сооружения и храмы. Не ясно, почему их было много? Зачем было использовать для разметки объекта в высоту одни сажени в ширину другие и в длину третьи? Почему они несоразмерны между собой? И т.д. Логика длины требовала применения единообразного измерительного инструмента. И таким инструментом стал метр. Однако метр эталон для отделения частей от целого. Им невозможно соизмерять. Он годится только для измерения найденных пропорций. Проектировать и строить на основании метра нельзя.

Воссоздание А. Пилецким «Всемера» из 15-ти древнерусских саженей - важнейшее историческое, культурное и архитектурное открытие ХХ века (см. приложение 2.). Особенность, отличающая древнерусские сажени от всех других инструментов, заключается в том, что получение их долей происходило путем раздвоения (делением пополам). Никакого дробления элементов на части более 2-х не допускалось. Всего сажень включала шесть элементов (долей), и последний – вершок был 32-ой частью сажени. Каждый элемент имел двойное название. Например, сажень великая, локоть греческий или пядь церковная, поскольку ни один из них не был равен по длине никакому другому. И только элементы малой сажени не имеют второго названия. К тому же каждая сажень по воле зодчего могла «возрастать» по длине в полтора, два и два с половиной раза. Естественно, что части этих саженей тоже пропорционально увеличатся. В приложении 3 приведена таблица длин саженей и локтей в метрических величинах (в см.) с округлением до 4-х знаков.

Последовательное деление саженей надвое производилось для того, чтобы в любой части строительного объекта укладывалось только целое число саженей или их элементов. Причем разбивка плана каждого объекта производилась четным числом саженей. Объем объекта формировался, начиная с высоты – от Бога, в котором укладывалось четное число одной сажени, затем разбивалась ширина четным числом других саженей и, наконец, длина аналогичным числом третьих саженей. Разметка внутренних объемов объекта производилась так же, но уже элементами саженей и чем меньше было помещение, тем меньшая часть сажени использовалась.

Отметим, что сажень, в противоположность метру, трехчастный инструмент. Комплекс саженей – система для образования целого объема. Главное отличие саженей от всех измерительных инструментов заключается в том, что они являются не измерительными, а соизмерительными инструментами, применяются в комплексе и предназначаются для образования гармоничных объемов зданий и сооружений. Поэтому логика применения саженей полностью отличается от логики использования метра.

Пространство, по логике изобретателей метра, мертво и потому его можно дробить и объединять в любых пропорциях, не заботясь о том, что получится в пространстве после объединения. Результатом становится возведение бесформенных пространственных сооружений, безликость городов, нагромождение коробок, дискомфорт и психологический прессинг жителей.

Для древнерусского зодчего пространство, как и Земля, являлось живым телом Господа и состояло из целых долей. Бездумное дробление Его становилось расчленением живого на части, становилось смертным грехом, надругательством над Землей вне зависимости от того, понимал ли это зодчий или нет. Зодчий в своем творчестве, а точнее в любовном сотворчестве с Господом, наделял образуемые объемы строений пропорциональностью Его долям. И пропорциональности эти формировались объемными комбинациями соизмерительных иррациональных инструментов - саженей. Пропорциональность жилого пространства строения долям Господа обусловливала ему гармоничность, благостность и долговременность.

Каковы истинные размеры храма Соломона и до сего дня «тайна великая есть». В Библии [16] говорится (3 Цар 6.2): «Храм, который построил царь Соломон Господу, длиною был в шестьдесят локтей, шириною в двадцать локтей и вышиною в тридцать локтей». И строили Его 11 лет. Многие специалисты полагают, что локоть, как и метр, был единственным инструментом для измерения протяженности, и, переводя локти длиною 0,44 м в метровую систему, получают 26,4 х 8,8 х 13,2 м, что в кубатуре составляет 4600 м³. Но вот парадокс, та же Библия свидетельствует, что свой дом (не храм, а дом) Соломон строил 13 лет (3 Цар 7.2): «И построил он дом из дерева Ливанского, длиною во сто локтей, шириною в пятьдесятлоктей, а вышиною в тридцать локтей…».

Переведя эти размеры в метрическую систему, получаем 44 х 22 х 13,2 м, что по кубатуре 12800 м³, или почти в три раза больше, чем храм Господа. Не говоря уже о том, что по высоте они оказываются равными. И, следовательно, Соломон символически приравнивает себя Господу. Не случайно эта головоломка путает многих, и очень часто в ссылках указывается храм Господа в размерах дома Соломона [32]. Но ведь Соломон был мудр как никто в древности и, похоже, никогда не выражал желание поставить себя на уровень Господа. Не мог он построить свой дом по высоте равным храму Господню. Поэтому дом Соломона должен быть, как минимум, наполовину меньше храма Господа. Так что же образует головоломку? Головоломку создает молчание Библии о множественности саженей и о том, что сажени не являются измерительными документами (где-то, на каком-то этапе написания Библии эту «мелочь» упустили, а возможно и просто не включили). К Библии претензии предъявлять нельзя, она не учебник по строительству, а когда ее писали, каждый мальчишка обладал знанием иерархии хотя бы нескольких локтей. А логика метра, ну что поделаешь, если мы забыли другую, заставляет нас мерить по метрическому правилу одним локтем и получать нечто необыкновенное, не имеющее отношения к рассматриваемому объекту.

Теперь, имея некоторое представление о древних саженях, попробуем определить, какие же размеры имеет храм, построенный Соломоном для Господа. Сначала определимся, какой информацией мы располагаем, кроме знания о назначении саженей:

Прежде всего, нам неизвестны сакральные числа религии времен Соломона, хотя два из них – 3 и 10 заложены в параметрах 20, 30, 60. Нам известно, что еврейский народ, незадолго до построения храма, в течение сотен лет проживал в земле египетской и, значит, пользовался теми же строительными инструментами, что и египтяне. Следовательно, можно предположить, что два других египетских сакральных числа 7 и 11 могут входить в структуру храма, и сделать вывод о том, что зодчие Соломона работали по египетскому канону. На это указывает и длительность строительства храма. Ясно также, что при проектировании храма использовались бóльшие строительные локти (например, полуторные), чем в доме Соломона. Наконец один из параметров должен давать единственное решение, т.е. иметь одно сакральное число. Скорее всего, это ширина в 20 локтей. Теперь можно приступать к нахождению метрических величин параметров храма Господа именно с его ширины.

Запишем метрические размеры локтей и, умножив их на 20, определим возможные параметры ширины храма Господа. Эти размеры последовательно поделим на числа кратные 7 и 11. В результате получаем размер, в котором укладываются все египетские и христианские сакральные числа. Расчет показывает, что ширина храма равнялась примерно 21,3 метра, и в ней укладывалось полуторных локтей городовых 20; 1,068 х 20 = 21,36 м, полуторных локтей больших 22; 0,969 х 22 = 21,32 м и локтей меньших 42; 0,5045 х 42 = 21,19 м. И, получаем, что параметры храма включали все сакральные числа: 1(0), 7 (7х3х2), 11 (11х2). Зная это, находим высоту и длину храма. Они оказываются равными следующим величинам: высота равна 25,90 м и в ней укладываются 33 полуторных локтя фараона; 0,7842 х 33 = 25,88 м, 35 локтей царских; 0,74 х 35 = 25,90 м, и 30 полуторных локтей греческих; 0,864 х 30 = 25,92 м. Длина равна 39,56 м и в ней укладываются полуторных локтей народных 60; 0,66 х 60 = 39,6 м, кладочных 66 локтей; 0,599 х 66 = 39,53 м и простых 70 локтей; 0,5655 х 70 = 39,58 м. Главные размеры храма Господа, построенного Соломоном, определены. Каждый его параметр размерялся тремя различными полуторными саженями, т.е. храм обладал высшей степенью святости.

Теперь, для сопоставления, тем же методом, рассчитаем размеры, которые имел дом Соломона, исходя из того, что его параметры размечались одинарными локтями. За точку отсчета снова берем количество локтей, включающее одно сакральное число – 50. И находим, что дом Соломона имел следующие размеры: высоту – 15,42 м, в которой укладывались 33 локтя церковных и 35 локтей народных, ширину – 18,9 м, в которой укладывалось 33 локтя греческих, 50 локтей простых 56 локтей меньших и длину 39,9 м, где укладывалось локтей Пилецкого 77, и кладочных 100. И дом самого Соломона по объему оказывается меньше храма Господа почти в два раза, да и времени на его сооружение Соломон затратил больше, чем на сооружение храма Господня.

Похоже, что можно не ограничиваться получением главных размеров храма Господня, но и выявить величину и структуру тех элементов, из которых он складывается. Полное описание храма дается пророком Иезекиилем. Используя это описание и методы проективной геометрии, учитывая, что три основных размера храма есть сложное отношение трех исходных точек, можно, по описанию, определить все элементы храма. Но это отдельная и большая задача, решение которой не является целью данной работы. Поэтому вернемся к теме и продолжим рассмотрение качественных особенностей статической геометрии.

3.5. Фигуры золотого сечения

Задачу деления отрезка в крайнем и среднем отношении (Рис. 42) можно описать двумя размерностными уравнениями:

(a + c)/c = c/a (3,31)

(a + c)/a = (c/a)², (3.32)

И решать тремя способами:

● алгебраическим, подставляя в (3.31) или (3.32) b = с ⁄ а и получая алгебраическое уравнение:

b² – b – 1 = 0, (3,33)

не имеющего отношения ни к (3.31) ни к (3.32) поскольку в (3.33) отсутствует размерность, и к тому же решение ограничивается только нахождением безразмерностного числа Ф.

● геометрически, с помощью линейки и циркуля, или приведением уравнений (3.31) и (3.32) к геометрической форме посредством освобождения от знаменателя:

a² + ac = c², (3,34)

и после замены ас на b² имеем уравнение Пифагора для прямоугольного треугольника,

a² + b² = c², (3,35)

где b длина одного из катетов треугольника имеющая размерность. Появление b свидетельствует о том, что первичный отрезок АВ, по-видимому, является отображением в виде прямой некоторой фигуры, находящейся на горизонтальной плоскости, а точки А, В, С, значимые точки этой фигуры.

● и, как показано выше, совместным решением (3.31) и (3.35) – находя величины всех параметров, задействованных в уравнении (3.31).

Но появлением (3.31)-(3.35) количество возможных формализаций результатов деления отрезка в крайнем и среднем отношении не ограничивается. Не исключено, что этой операцией не отрезок делится надвое, а находится отношение длин некоторых параллельных отрезков АВ, АС, и ВС (рис. 49.1) расположенных на соответствующем расстоянии друг от друга торцом к наблюдателю и для них можно записать следующую пропорцию:

АВ ∕ АС = АС ∕ ВС. (3,36)

И это не все. Уравнение (3.35) может оказаться не уравнением Пифагора, а формализацией положения окружности на плоскости, достаточно преобразовать его в следующий вид:

а² ∕ с² + b² ∕ с² = 1. (3,37)

Вот тот набор фигур, которые могут «скрываться» на плоскости за формулировкой «деление отрезка в крайнем и среднем отношении». И у нас отсутствует основание для игнорирования анализа любого из этих уравнений. Начнем рассмотрение с уравнения (3.35), поскольку именно в нем проявляет себя появление третьего отрезка.

Как следует из (3.35) в результате деления отрезка АС на две части получены три отрезка образующие прямоугольный треугольник, что логически невозможно. К тому же остается неясным механизм выявления размерностного Ф, и отсутствуют ответы на вопросы: Откуда появляется третий отрезок в уравнении Пифагора (3.35), ведь согласно уравнению (3.31), отрезок делится на две, а не на три части? Действительно ли уравнения (3.31), (3.32) воспроизводят деление отрезка, или совместно они отображают какие-то другие геометрические фигуры? Если фигуры, то какие? Можно ли по одной доле отрезка, а или с, решить обратную задачу: восстановить его полную длину геометрическими методами (с помощью линейки и циркуля)? Попробуем разобраться в этих вопросах.

Сначала отметим, что предполагаемая прямая может оказаться горизонтально расположенной плоскостью с нанесенными на ней одной или несколькими фигурами, которые в таком случае будут невидимы, или проявят себя в виде отрезка. И потому процесс «деления» оказывается не только делением, но и выявлением на «ребре» плоскости элементов какой-то фигуры или фигур, расположенных в промежутке между точками А и С. Вероятно поэтому для деления отрезка АС с помощью циркуля и линейки приходится строить, как это показано ранее на рис. 47, вспомогательный двусмежный квадрат АСДВ.

На рис. 47. точка N, делящая отрезок в золотой пропорции, найдена. Она становится значимой, поскольку вместе с А и В может отображать, например, существование трех евклидовых параллельных прямых, видимых с торца. Данное отображение не проявляет наличия параметра b, но и не отрицает возможность существования евклидовых параллельных. Такой вариант не исключается, поскольку три искомые точки А, В, и N наличествуют, и его нельзя отбросить без рассмотрения. Другой вариант – возможность наличия двусмежного квадрата на плоскости, используемого для геометрического деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Но для двусмежного квадрата точка N не является значимой. Она не отображает ни одного элемента этого квадрата и не определяет значимость параметра b. Двусмежный квадрат, похоже, проявляет себя только как подсобный элемент для нахождения точки N. Если же на базе АС построить два квадрата (показано пунктиром), стороны которых равны долям поделенного отрезка а и с и одна из сторон общая, то на горизонтальной плоскости отобразятся три значащих точки А, В, N. Однако и в этом построении существование параметра b не просматривается.

Точка N делит отрезок АВ на две части (доли), отношение которых в соответствии с (3.33) равно: Ф = ВN/AN = 1,618… или 1/Ф = АN ⁄ ВN = 0,618… . Однако у нас нет доказательства того, что формализация, описывающая деление отрезка в крайнем и среднем отношении, является единственной и ограничивается только этим делением. Нельзя исключить и того, что за процедурой, определяемой как деление отрезка, скрывается некий способ выявления элементов еще некоторой фигуры (фигур?) «лежащей» на плоскости, например, прямоугольного треугольника. Об этом свидетельствует и то, что в результате преобразования пропорций (3.31) и (3.32) получается уравнение Пифагора (3.35) включающее – гипотенузу с и два катета а и b. Причем появление катета b из уравнений (3.31) и (3.32) оказывается полной неожиданностью. И потому деление отрезка в крайнем и среднем отношении требует дополнительного исследования.

Предположим, основываясь на уравнении (3.35), что процесс деления отрезка (то, что процесс ограничивается делением «отрезка», теперь ставится под сомнение), является также процедурой нахождения какой-то выделенной точки некоего прямоугольного треугольника видимого с ребра. Повернем предполагаемую плоскость на 90^о и рассмотрим элементы каких фигур могут оказаться отображенными точками А, В, N (рис. 49.2).

Поскольку отрезок АВ разделен на две части золотым сечением, то можно полагать, что и треугольник, опирающийся на этот отрезок является золотым треугольником. Построим на отрезке равном АВ золотой прямоугольный треугольник АВС, и опустим из вершины С на гипотенузу перпендикуляр СN. Перпендикуляр достигнет гипотенузы в точке N, и поделит треугольник АВС на два подобных золотых треугольника АNС и СNВ. Причем катет СN оказывается общим для обоих треугольников, а сами треугольники «сомкнутыми» (сдвоенными) катетом b = b´.

Можно подойти к построению золотого треугольника иначе, если в соответствии с (3.36) предположить, что отрезок АВ является диаметром окружности, а точка N – вершина прямоугольного треугольника с гипотенузой АВ, расположенной на горизонтальной плоскости (рис. 50). В этом случае центр окружности О скрыт катетом треугольника и не является значимой величиной. Если принять, что радиус окружности равен, например, R = 5 см, доли отрезка равны АN´ = 6,18 см, ВN´ = 3,82 см, т.е. диаметр, поделен в золотой пропорции: АN`⁄ВN` = 1,618, то можно определить высоту NN` и длину катетов АN = 7,86 см и ВN = 6,18см данного треугольника. Т.е. АN` = ВN. У треугольника АВN высота NN` = 4,86 см, и она пропорциональна отношению |АN´| ⁄ |NN´| = Ф = 1,618, а стороны пропорциональны числу Ф. (Покажем это на отношениях модулей сторон: 3,82 : 3,82 = 1; 6,18 : 3,82 = 1,618; 10,0 : 3,82 = 2,618). Следовательно, процедура деления «отрезка» в крайнем и среднем отношении может выявить как точку N на отрезке либо угол АNВ, либо высоту N´N вписанного в окружность прямоугольного треугольника.

Треугольник АNВ носит название золотого степенного треугольника поскольку отношение его сторон пропорциональны числу Ф = (1,272)² = 1,618. Если, например, принять, что у золотого треугольника меньший катет равен Ф¹ = АN = 1,618 (см), то другой катет равен Ф² = ВN = 2,618 (см), а гипотенуза Ф³ = АВ = 4,236 (см). И, следовательно, за процессом делением отрезка в крайнем и среднем отношении может скрываться отображение на горизонтальной плоскости геометрической фигуры – золотого

прямоугольного треугольника обращенного прямым углом N к математику. Процесс же деления выявляет точку схождения катетов этого треугольника и длину его высоты NN´ = b, а потому и ее размерность (см).

Уравнения (3.31) и (3.32) в этом случае могут относиться к каждому из подобных треугольников, и будут иметь, например, следующий вид:

b´ = (а´ + с´) ⁄ с´ = с´ ⁄ а´,

b² = (а + с) ⁄ а = с²∕ а²,

при b = b´,

совместно описывая не деление отрезка в крайнем и среднем отношении, а существование на плоскости сдвоенного золотого треугольника.

Будем полагать, что объяснение наличию пропорций (3.31) и (3.32), и следующего из них уравнению Пифагора, найдено. Но теперь, когда обнаружилось существование, по меньшей мере, двух фигур в одном месте, возникает вопрос, а не скрываются ли там еще и другие фигуры, дополняющие найденные? Тем более, что алгебраическое решение уравнения (3.33) дает два значения числа Ф: Ф = 1,618 и Ф = 0,618 и только одно из них отображается рисунками 49, 50. Возможно, это свидетельствует о том, что полученная фигура золотого треугольника является одним из возможных вариантов решения и нельзя исключить, что существуют другие фигуры, которые отражают два значения величины Ф. Поэтому продолжим рассмотрение возможности отображения отрезком АВ других фигур. Поищем другие варианты.

Можно предположить, например, что точка N есть точка соприкосновения двух смежных окружностей. Построим обе окружности (рис. 51), для чего повторим построение двусмежного квадрата АВСД и нахождение точки N. Проведем диагонали в двусмежном квадрате (показано штрихами) и разделив доли АN и ВN пополам проведем циркулем окружности Б и Б₁, с радиусами R и r. Обратим внимание на то обстоятельство, что диагональ СВ двусмежного квадрата АСDВ является касательной к окружности Б. Если же теперь «повернуть» окружность Б₁ вокруг ТТ` как вокруг оси на 180^о, то заняв часть окружности Б, она оказывается касательной к другой диагонали двусмежного квадрата – СВ.

Проведем в каждом из квадратов по диагонали АS и SВ, получив равнобедренный треугольник АSВ, и восстановим из центров окружностей перпендикуляры до пересечения их с окружностями. Точки Е, F пересечения радиусов R и r c окружностями Б и Б₁будут лежать на диагоналях АS и SВ, т.е. на сторонах равнобедренного треугольника (рис. 51). Если же соединить точки пересечения E и F прямой, то получим разностороннюю трапецию O₁EFO₂. Диагонали этой трапеции пересекаются на перпендикуляре, восстановленном из точки N. Если предположить, что трапеция может «двигаться» деформируясь внутри треугольника АSВ, при постоянном соприкосновении радиусов со сторонами треугольника АSВ, то при ее «движении» влево или вправо, нижнее основание трапеции будет оставаться неизменным. А радиусы окружностей, остальные стороны и диагонали будут пропорционально деформироваться таким образом, что точка пересечения диагоналей трапеции будет всегда находиться на перпендикуляре, восстановленном к диаметру через точки соприкосновения окружностей N. И, следовательно, элементы трапеции и окружности, на которые она «опирается» взаимосвязаны Все элементы фигуры, кроме нижнего основания деформируются пропорционально, при «перемещении» в плоскости равностороннего треугольника АSВ. На рисунке 51 зафиксирован тот миг движения, когда радиусы окружностей относятся друг другу пропорционально числу Ф:

R⁄r = 1,618…, r⁄R = 0,618… .

Получаются те же величины отношений, которые извлекаются из решения уравнения (3,33). И потому нельзя исключить, что и фигура на рис. 51 тоже имеет какое-то отношение к делению отрезка в крайнем и среднем отношении, когда точка деления является точкой касания окружностей или точкой пересечения диагоналей разносторонней трапеции. Однако и в этом случае отсутствует размерностная величина b, поскольку отношение радиусов не оказывается размерностной величиной.

Отметим, что наличие двух смежных окружностей, (или сферических образований?) соприкасающихся в одной нейтральной точке как бы моделирует в статике структуру гравитационных полей небесных тел. (Например, структуру Солнца и одной из ее планет, имеющих в качестве нейтральной «точки» – зону одинаковой напряженности своих гравитационных полей.). И структуру молекул (например, структуру молекулы воды) и атомов микромира и т.д. (рис. 19)

Таким образом, процесс деления «прямой» в крайнем и среднем отношении по уравнению (3.31) возможно выявляет существование на горизонтальной плоскости одной из описанных выше фигур (трех параллельных прямых, двух разновеликих квадратов с общей стороной, двусмежного квадрата, двух соприкасающихся окружностей) или, по уравнению (3.35) сдвоенного золотого треугольника с высотой b.

К тому же, как следует из (3.35), деление «отрезка» в крайнем и среднем отношении включает в себя не только видимую (проявленную часть операции − раздвоения первичного отрезка, и результата – появления двух долей–отрезков), но и скрытую, невидимую ее часть (появление прямоугольного треугольника и его катета |NN´| = b). Невидимая часть может содержать прямоугольный треугольник, с перпендикуляром. Не исключено существование и других фигур: прямоугольников, трапеций, треугольников и окружностей (сфер?). Т.е. одной операцией из двух действий по делению отрезка на две части обусловливается возможность появления нескольких различных фигур, отсутствующих по условиям задачи. Это обстоятельство свидетельствует о существовании в геометрии скрытых фигур (параметров) и неизбежности двойственных результатов некоторых решений (ниже будет показано существование скрытых фигур, например, в проективной геометрии). К тому же элементы всех образуемых на рис. 49-51 фигур оказываются пропорционированными (как бы квантованными) золотому числу Ф или членам числового поля русской матрицы (об этом далее).

Обратим внимание еще на одно очень важное обстоятельство. На появление на рис.51 равнобедренного треугольника АSВ и трапеций, как снаружи фигуры – АСДБ, так и – внутри равнобедренного треугольника O₁EFO₂. Точка S равнобедренного треугольника, лежащая