Арифметика рядов Фибоначчи

В математике существует свой гадкий «утенок» − золотая пропорция. И хотя к этой пропорции с давних пор проявлялся немалый интерес, интерес этот был односторонен и проявлялся в основном со стороны деятелей искусств: художников, скульпторов, историков, архитекторов. Ни одно направление математики, физики, и других точных наук не считало и не считает золотые пропорции своей частью или разделом. Пропорция эта оказалась на столетия не востребованной ни одним из предметов современной науки. Даже не смотря на то, что «утенок» − золотые пропорции на глазах превращается в «белого лебедя», необходимых всему спектру научных дисциплин. Мы полагаем, что «бесхозность» золотых пропорций канула в лету. Золотые пропорции – базис русской геометрии, основа отображения природных процессов в математике и физике, становятся обязательным элементом каждой научной дисциплины. Познакомимся с этим базисом.

Откуда пришли представления о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, позволяющем получать золотое число Ф и образующее пропорцию, названную Леонардо да Винчи «Золотым сечением», а Кеплером «Божественной пропорцией» − неизвестно. Но в Древнем Египте и в Древней Греции на основе золотого числа Ф = 1,618… был получен ряд из 11 чисел посредством последовательного бесконечного умножения базисной 1 на Ф (восходящая ветвь ряда) и деления базисной 1 на Ф (нисходящая ветвь ряда), имеющий названия золотого ряда (варианты: греческий или египетский ряд [26]). Воспроизведем его:

…; 0,934; 0,056; 0,090; 0,146; 0,236; 0,382; 0,618: 1,00; 1,618; 2,618; 4,236; …

Золотое число Ф = 1,618... получается несколькими способами, один из которых - деление отрезка в крайнем и среднем отношении (рис. 42). Для чего отрезок делится в крайнем и среднем отношении и о чем свидетельствует золотое число Ф, до сих пор неизвестно. Известно только, что деление это создает эстетически законченный образ тех человеческих творений, в которых они находят применение. Отметим, что в постановке задачи говорится о делении одного отрезка на две неравные части а и с так (рис. 42), чтобы весь отрезок (а + с) относился к большей части с как с к меньшей части а. Для получения золотой пропорции отрезок АС делится на две неравные части АВ = а и ВС = с так чтобы его длина АС = АВ + ВС = (а + с) относилась к большей части с, как с относится к меньшей части а. Запишем это отношение и проведем несколько более сложные, чем ранее, расчеты:

А В С

а с

Рис. 42.

(а + с)/с = с/а (3.1)

Пропорция (3.1) носит название золотой пропорции. В данном случае подразумевается конечная в рациональных числах длина отрезка (а + с), кратная некоторому измерительному инструменту, допустим метру. В условии задачи нигде не говорится о невозможности его целочисленного или дробного рационального деления и о нерациональности двух(?)образующихся при делении отрезков. Это очень важная оговорка. Она подтверждает непреднамеренный, а как бы вероятностный или даже случайный характер деления. Проверим эту случайность, заменив в (3.1) отношение с/а на b:

b = с/а, (3.2)

и, подставив (3.2) в (3.1), получаем квадратное уравнение

b² - b - 1 = 0, (3.3)

решая его, находим два значения величины b:

b₁ = (1+Ö5)/2 = Ф = 1,6180339, (3.4)

b₂ = (1-Ö5)/2 = − 1/Ф = − 0,6180339. (3.4)

Золотое число Ф − является числом иррациональным (скрытым от точности числом). То есть таким числом, бесконечная последовательность которого не может быть вычислена до конца, сколько бы времени его ни вычисляли. И для его получения приходится прерывать вычисления, округляя результат на той цифре, которая необходима по условиям задачи. А это означает, что иррациональное число, понимаемое нами как число фиксированное, таковым не является. Оно индивидуально, не имеет однозначного количественного выражения и отображает своего рода математическое качество (качества не складываются). Оно отражает неограниченную количественную величину и не может точно складываться как с рациональными, так и с иррациональными числами. Иррациональное число - это бесконечный процесс, который продолжается в формализации даже в том случае, когда мы прерываем вычисления. Прерывая вычисления, мы не прерываем процесса. И можно считать, что ряд золотых чисел есть отображение совокупности взаимозависимых, непрерывных процессов. Процессов, соответствующих многим формам движения природных систем. Оно квантованный (выделенный из числового ряда) элемент числового ряда, обособленный от него и не примыкающий ни к одному большему или меньшему числу. Все операции с ним проводятся с приблизительной точностью. Повторяем: иррациональное число - качественная индивидуальность, и, следовательно, бесконечный ряд иррациональных чисел не является дурной бесконечностью и не входит ни в один числовой ряд. С получением иррационального числа в математику входит представление о числовом математическом качестве и квантовании чисел, вне зависимости от того, осознали это ученые или нет. Квантованное иррациональное число - основа и предтеча квантованной геометрии. Но вернемся к Ф.

Получив Ф и ее обратную величину, т.е. два числа b₁ и b₂, мы успокаиваемся, так и не определив, чему же равны количественные величины чисел а и с в формуле (3.1) и какое отношение они имеют к b, тем более, что подстановка b в (3.2) не приводит к определению величин а и с, а следовательно, не решает поставленную задачу. Тогда зачем же мы находим b? Ответ - только для того, чтобы получитьбезразмерностное Ф, поскольку знаем, что это число - основа золотой пропорции и потому знание величины числового значения отрезков а и с нам уже не требуется. Но в чем же суть золотой пропорции?

Попробуем решить (3.1) другим путем. Умножим числитель и знаменатель левой части отношения (3.1) на а. А правой части на с и, сократив знаменатели, получим следующее уравнение:

a² + ac = b². (3.5)

Уравнение (3.5) по количественной величине а и с оказывается полностью неопределенным. Ее члены, хотя и зависимы друг от друга, могут составлять пропорции при любых числовых значениях одного из них. Если же в (3.5) вместо ас, подставить b²:

b² = ac, (3.6)

то уравнение (3.5) из пропорции превратится в теорему Пифагора:

а² + b² = c² . (3.7)

Красота теоремы Пифагора и золотого сечения вызывали восхищение многих математиков, считавших их различными геометрическими образованиями. Вот как выразил свое восхищение Иоанн Кеплер: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. … Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень».

Исходя из (3.7) можно полагать, что эти сокровища обобщены в одно математическое чудо. Но продолжим.

Поскольку операция замены ас на b² при данных ограничениях возможна только в единственном случае, когда а = ÖФ, то в исполнении (3.7) числа а, b, с оказываются однозначно связанными с золотым числом Ф. И, как следствие, члены уравнения (3.7) становятся геометрически квантованными относительно золотого числа. Какую бы количественную величину они не имели они всегда остаются степенью числа Ф. Появление квантованной по золотому числу Ф геометрической зависимости свидетельствует о возможности построения геометрии на квантованных числах или, иначе говоря, о возможности построения квантованной геометрии.

Но вернемся к уравнению (3.7), которое описывает равенство суммы квадратов катетов прямоугольного треугольника квадрату гипотенузы. В нем индекс b численно отображает большой катет прямоугольного треугольника. И, следовательно, деление в крайнем и среднем отношении есть деление не на два отрезка, а на три, в пропорциях прямоугольного треугольника, в котором число b равное Ф неявно занимает место одного из катетов. И вместо двух отрезков мы как бы получаем три, образующие новое геометрическое качество - прямоугольный треугольник. Отметим это удивительное обстоятельство и продолжим.

Наличие отношений (3.2) и (3.6) свидетельствует о существовании еще одного числа i, кратного а, b, с. Для получения i возведем в квадрат (3.2) и, подставляя в него значение b² из (3.6), имеем:

a²×ac = c² , (3.7')

c = a³.

Подставляя величину с из (3.7') в (3.2), получаем:

b = a².

И окончательно:

a⁶ = b³ = c².

Поскольку b имеет два значения b₁ = 1,618, и b₂ = 0,618, то по ним находим i₁, i₂:

i₁ = b₁³ = (1,618)³ = 4,2358,

i₂ = b₂³ = (0,618)³ = 0,236.

Извлекая из i₁ и i₂ корень шестой степени, получаем количественную величину a₁, a₂:

a₁ = ⁶Öi₁ = ⁶Ö4,236 = 1,272,

a₂ = ⁶Öi₂ = ⁶Ö0,236 = 0,786.

Проведя извлечение квадратного корня из чисел i, находим значения с:

c₁ = Öi₁ = 2,058,

c₂ = Öi₂ = 0,4858.

Выясним, какой модуль по длине, рациональный или иррациональный, имеет отрезок, делимый в крайнем и среднем отношении:

с₁ + а₁ = 3,33019... = a₁⁵.

Таким образом, в крайнем и среднем отношении делятся только иррациональные отрезки. А это может обозначать только одно - все естественные отрезки сами по себе и сами для себя имеют свою иррациональную метрику, несоизмеримую со стандартной (декретной) метрикой.

Из решения уравнения (3.7), находим два значения а: а₁ = 1,272, а₂ = 0,786, два значения с: с₁ = 2, 058, с₂ = 0,4858, и два значения нового числа i: i₁ = 4,236, i₂ = 0,236. В результате решения пропорции (3.1) по теореме Пифагора были получены 8 иррациональных чисел, образующих с базисной 1 новый ряд, золотой пропорции Ф, аналогичный египетскому ряду.

Следует обратить особое внимание на то, что способ деления отрезков в крайнем и среднем отношении с использованием теоремы Пифагора, по-видимому, единственный, обусловливающий нахождение девяти (из тринадцати) взаимосвязанных и пропорциональных Ф золотых чисел (три отсутствующих числа легко восстановимы), образующих ряд, отличающийся от египетского пропорциональностью каждого числа «коэффициенту» 1,272... .

Таким образом, деление в среднем и крайнем отношении с использованием теоремы Пифагора, по-видимому, единственный способ, обусловливающий нахождение девяти (из тринадцати) золотых чисел пропорциональных Ф (три отсутствующих числа легко восстановимы), и включает в себя не только раздвоение отрезка в определенной пропорции, но и получение ряда чисел, в восходящем, и в нисходящем ветвях образующих ряд, отличающийся от египетского «коэффициентом» 1,272..., равным: а = 1,272019… = ÖФ. Ограниченных, однако, пределами шести чисел нисходящего ряда числом 0,236 и такого же числа чисел восходящего ряда числом 4,236, что вместе с базисной 1 составляет число 1\12. Причем о возможности получения в результате решения такого уникального ряда в условиях задачи нет даже намека. По этой причине, похоже, ни у кого из исследователей и не возникало подозрения в существовании двух вариантов решения задачи. Приведем этот искусственно отграниченный ряд с выделением отсутствующих чисел:

0,236; 0,300; 0,382; 0,486; 0,618; 0,786; 1,000; 1,272; 1,618; 2,058; 2,618; 3,330; 4,236. (3.8)

Этот удивительный, бесконечный в потенции, но искусственно отграниченный ряд иррациональных чисел, часть русского ряда [26], до сих пор не замеченный исследователями золотого сечения,назван намибиблейским рядом. В искусственном отграничении 1\12 числа ряда обладают целым букетом необыкновенных не только математических, но и библейскихособенностей:

- во-первых; полученные иррациональные числа, округленные до четвертой цифры, не являются вероятностным набором, а образуют некоторую квантованную отдельностями последовательность, аналогичную египетскому ряду и пропорциональную числу 1,272;

- во-вторых; ряд этот, имея своим центром базисную единицу 1, включает 1\12 чисел; по шесть на восходящих и нисходящих ветвях, явно отображая библейскую историю Христа с апостолами на тайной вечерне. Ну, точно как на картине Леонардо да Винчи, в центре Христос, а справа и слева по шесть апостолов [26]. И получается, что наличие в золотой пропорции сакральной композиции «Тайной Вечерни» является математическим подтверждением прихода на землю Сына Бога – Иисуса Христа;

- в-третьих; число 1 в этом ряду - выделенное, базисное, целое. Оно не равнозначно ни одному из предыдущих и последующих чисел. Оно обладает высшим рангом, иным качеством, чем остальные числа ряда, и входит в неявной форме в состав каждого числа (Так же как и Христос не равнозначен по происхождению, значимости и интеллекту своим ученикам – Апостолам.);

- в-четвертых; базисная1 - точка начала отсчета качественно разной бесконечности в обе стороны. Точка, неявно присутствующая в любой области бесконечного. Центр, разрывающий бесконечность числовой последовательности на два качества. Опора в бесконечности. То, безначальное, что становится началом конечного. Оно - Бог числа, без него невозможно представить ни одно число и, похоже, по этой причине считается сакральным у многих народов мира;

- в-пятых; шесть последовательных чисел от базисной 1становятся началом всякого динамического движения. Последовательность и значимость движения определяется количественным качеством первого от 1 числа;

- в-шестых; структура пространства - числовое поле ряда, определяется количественной величиной первого числа от базисной 1. Отсчет «рядовых» чисел поля начинается с седьмого числа;

- в-седьмых; базисная единица 1- числовой Бог, «разрывает» бесконечное-безначальное превращаясь в начальное, базисное и создавая числовое конечное;

- в-восьмых; появление базисной 1 в математике обусловливает существование инвариантных отношений как количественных отображений бесконечного движения, как основу формализации параметров динамической (физической) геометрии [2];

- в-девятых; ветви ряда, образуемого по обе стороны базисной 1 являются своего рода зеркальными подобиями - качественными антиподами. Они проявленное следствие однонаправленного движения первого, от базиса, числа, которое по обратную сторону базиса превращается в свою противоположность и меняет направление своего движения.

- в-десятых; русский ряд, частью которого являются библейские числа, - числовое, иррациональное образование, символ непрекращающего бесконечного движения, представитель бесконечного множества аналогичных рядов.

Эти необычайные и, как будет показано далее, не единственные особенности русского ряда золотых пропорций однозначно выделяют его из всех остальных математических отношений, но не отвечают на вопрос: Почему этому делению придается такая значимость?

Решив задачу на деление отрезка в крайнем и среднем отношении и получив представление об очень важных свойствах золотой пропорции - числовом ряде из 1\12 чисел, мы, тем не менее, не пришли к пониманию того, зачем нужны эти числа, что они означают и не нашли ответа на вопрос: Зачем же делится отрезок в столь “странной” пропорции?

Попробуем подойти к делению с другой стороны. Хотя из полного решения и был получен ряд чисел, исходными для деления отрезка оказались два числа: 1,272... и 2,058... . Причем их можно рассматривать двояко:

как длину каждого из полученных в результате деления отрезков;

как числовую отметку левого и правого концов первоначального отрезка.

В первом случае предполагается, что первоначальный отрезок существует локально и имеет длину равную сумме чисел-отрезков 1,272 и 2,058, тогда и число 1,618 приобретает значимость какого-то неявного отдельного или «приставленного» к другим отрезка.