Краткий анализ основ геометрий 9 глава

«Через точку, лежащую на плоскости вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

Данная дефиниция в свою очередь не концентрирует внимание на бесконечности, а только неявно предполагает возможность ее существования. Однако именно эта двусмысленность обусловливает логическую возможность различного толкования, как процесса движения, так и обоснования параллельности прямых.

Статический характер евклидовой геометрии требует также однозначного статического определения параллельности в рамках актуальной бесконечности. И эта однозначность может быть отображена следующей формулировкой:

Две бесконечные прямые на плоскости, не пересекающиеся в одной точке всегда параллельны.

В этой формулировке задействована актуальная бесконечность, отсутствует движение и потому не имеет места логическая неопределенность. В ней четко фиксируется основной признак параллельности - отсутствие точки пересечения прямых на бесконечной плоскости.

Неопределенная формулировка пятой аксиомы Евклида включает неявным образом несколько факторов, связанных с потенциальной бесконечностью и противоречащих бесконечности актуальной:

- она постулирует существование на поверхности одной бесконечной линии и точки (статика) и движение вдоль нее другой линии, проходящей через точку (динамика);

- условия движения линии и качественные параметры пространства на бесконечности (например, существование плотности пространства) не определены, так же как отношение точки и прямой. Поэтому в движении линия может взаимодействовать с пространством или не взаимодействовать (если мысленно допускается такой нонсенс, как наличие пустого пространства). А если существует взаимодействие, то оно будет проявляться в изменении прямизны линии (что и наблюдается в геометриях Лобачевского и Римана).

- она постулирует возможность существования плоскости (а при переходе к объему - пространства) с различной метрикой в ортогональных направлениях. Следствие анизотропии напряженности потенциальной бесконечности.

- она постулирует возможность длительного периода движения линии. То есть постулирует существование времени, которое отсутствует в статической геометрии по определению, и наличие потенциальной бесконечности.

Все четыре неявных постулата относятся не к актуальной бесконечности, а к бесконечности потенциальной. Их наличие показывает, что плоскость, на которую нанесены геометрические элементы (в частности точки и линии), имеет неоднородную напряженность поверхности (независимо от того, понимаем ли мы это или нет, но в структуре уравнений существует память числа, фигуры и состояния пространства, которые проявляются в результатах решения). И эта неоднородность обусловливает искривление прямой, движущейся вдоль существующей (?) линии как в одну сторону от точки, так и в другую сторону от нее. (Кстати, постулируемая в аксиоме прямая на плоскости может оказаться только в нашем воображении, а движутся, оставляя следы, точки.) Характер же искривления зависит от того, какие граничные условия и в каком направлении пространства определяют движение точки.

Изменение напряженности пространства искривляет прямую движущуюся на бесконечность. Движение же на бесконечности обусловливает возможность формулировки нескольких вариантов пятой аксиомы Евклида. Эти формулировки могут задействовать как свойства статики, так и динамики, что и проявилось в определениях Лобачевского и Римана при рассмотрении пятой аксиомы Евклида. Новые определения стали основами так называемых «неевклидовых» геометрий.

Краткий анализ основ геометрий