Внецентренное сжатие (растяжение)

Весьма часто продольная нагрузка бывает приложена не в центре тяжести поперечного сечения стержня, а с некоторым смещением (эксцентриситетом) относительно главных осей сечения (рис. 7.4 а).

а)   б)

Рис. 7.4

Применив метод сечений, обнаружим в любом поперечном сечении стержня продольную силу N = F и изгибающие моменты, равные относительно оси и относительно оси

Поэтому напряжение в любой точке поперечного сечения с координатами х и у определяется, как при осевом растяжении и изгибе в двух плоскостях, т. е. по формуле, аналогичной формуле (7.18):

(7.12)

Для сечений, имеющих выступающие угловые точки, экстремальные напряжения определяют по формуле

(7.22)

где W_x и W_y - моменты сопротивления относительно осей X, Y.

В сечении, показанном на рис. 7.4 б, наибольшие напряжения будут в точке Е, так как здесь суммируются растягивающие напряжения от центрального растяжения и растягивающие напряжения от изгиба в двух плоскостях:

(7.23)

Наименьшие (в алгебраическом смысле) напряжения будут в точкеD:

(7.24)

При этом они могут получиться как растягивающими, так и сжимающими.

Условие прочности по растягивающим напряжениям имеет вид

(7.25)

Если точка приложения силы находится на одной из главных осей сечения, например, на оси у, то предыдущая формула упрощается:

(7.26)

При произвольной форме поперечного сечения для определения положения опасных точек необходимо найти положение нулевой линии. Уравнение нулевой линии получим, приравняв напряжение нулю:

(7.27)

где x ₀ и y₀ - текущие координаты точек нулевой линии.

Кручение с изгибом

Брус, изображенный на рис. 7.5, работает на кручение и изгиб. В машиностроительных конструкциях детали, работающие на кручение и изгиб, встречаются очень часто. Характерным примером таких деталей являются валы различных машин.

Начнем с того, что, пользуясь принципом независимости действия сил, определим отдельно напряжения, возникающие в брусе при кручении, и отдельно - при изгибе. При изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах балки: и касательные напряжения, достигающие наибольшего значения у нейтральной оси. От кручения в поперечных сечениях возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения;

В случае, изображенном на рис. 7.5, сечение, где возникает наибольший изгибающий момент, совпадает с сечением, где возникает наибольший крутящий момент. Это сечение у заделки. В этом сечении (опасном) опасными являются точки С иВ. Рассмотрим напряженное состояние в точке С. Но площадке поперечного сечения, проходящего через эту точку, действуют наибольшие касательные напряжения от кручения и наибольшие (в данном случае растягивающие) нормальные напряжения от изгиба

Рис. 7.5.

По площадке продольного сечения нормальные напряжения отсутствуют, а касательные (в силу закона парности) имеют то же значение, что и в поперечном сечении.

Так как напряженное состояние двухосное, то для проверки прочности применяем одну из гипотез прочности. Имея в виду валы, изготовленные из стали, применяем третью или четвертую гипотезу прочности. Для этого необходимо определить главные напряжения для заданного напряжения состояния (рис. 7.6).

Главные напряжения определяются по известной формуле

(7.28)

Рис. 7.6.

Условие прочности - по третьей гипотезе (гипотеза наибольших касательных напряжений),

Подставляя сюда значения и , получаем

(7.29)

Учитывая, что и , получаем

(7.30)

Отсюда получим зависимость для подбора сечения (проектного расчета):

(7.31)

Напоминаем, что в случае, если вал испытывает изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то

(7.32)

По четвертой гипотезе прочности (гипотезе удельной потенциальной энергии изменения формы), условие прочности для случая плоского напряженного состояния имеет вид

(7.33)

Подставляя значения и , выраженные через и в поперечном сечении вала, получаем

(7.34)

но и , следовательно,

(7.35)

Отсюда для подбора сечения

(7.36)