ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, раз и т.д., раз и – объем выборки.

Наблюдаемые значения называются вариантами; последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом.

Числа наблюдений обозначены и называются частотами, а величины – относительными частотами. Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих частот (или относительных частот ):

Х			...
nx			...
Wx			...

В случае большого количества вариантов и непрерывного распределения признака статистическое распределение выборки задают в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на определенное число частичных интервалов (x₀, x₁), (x₁, x₂),...,(x_k-1, x_k) длиной D х_i и находят для каждого интервала n_i сумму частот вариантов, попавших в i-й интервал. Таким образом получают интервальное статистическое распределение выборки:

Интервалы	(x0, x1)	(x1, x2)	...	(xk-1, xk)
nx			...
Wx			...

Статистическое распределение выборки называют также статистическим рядом.

Для графического изображения статистического ряда используют полигоны и гистограммы.

Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант, на оси ординат – значения частот (или относительных частот ). Построенную таким образом ломаную, отрезки которой соединяют точки ( или , называют полигоном частот или полигоном относительных частот соответственно.

В случае непрерывного распределения признака на основании интервального статистического распределения используют гистограмму, устанавливающую зависимость частот от разрядов интервалов, в которые попадают значения случайной величины. Предполагаем, что длины интервалов равны (h – шаг распределения). На оси Ox отметим точки с шагом друг от друга. На каждом частичном интервале строим прямоугольник высотой (плотность частоты). Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из вышеупомянутых прямоугольников. Поскольку площадь i-го частичного прямоугольника равна , то площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки n.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты). Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят прямоугольники высотой . Площадь i-го прямоугольника равна – относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Поэтому гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения случайной величины X.

Задача В результате испытаний случайной величины X получен статистический ряд:

Построить гистограмму частот и гистограмму относительных частот статистического ряда.

Решение. На рис. показана гистограмма частот

Построим статистический ряд относительных частот

I	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
	0,12	0,2	0,16	0,32	0,2

Пусть теперь изучается случайная величина X, закон распределения которой неизвестен. Требуется определить закон распределения на основании статистических данных.

Определение Статистической (эмпирической) функцией распределения (иначе функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события :

,

где – число наблюдений, при которых значение признака X меньше x; n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функция распределения генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что определяет вероятность события , а - относительную частоту этого же события. Поэтому можно использовать для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Функция обладает свойствами :

1) значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку [0,1];

2) является неубывающей функцией на промежутке ;

3) если – наименьшая варианта, то = 0 при ;

если – наибольшая варианта, то = 1 при .

Задача 2. Построить эмпирическую функцию распределения по статистическому распределению

Решение. Имеем

.