Взаимодействие электрических зарядов.

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ.

Разнообразные электрические явления были известны ещё в древности. Фалес Милетский за шесть веков до нашей эры описал свойство янтаря притягивать пушинки и другие легкие предметы, если потереть его о шерсть. От греческого слова «электрон», т.е. «янтарь», и был образован термин «электричество». Этот термин ввёл в обращение в 1600 году личный врач английской королевы Елизаветы I Уильям Гильберт (1540-1603), известный, в частности, пионерскими работами в области магнетизма. В течение почти двух тысяч лет силу притяжения янтаря считали особым свойством этого вещества. У. Гильберт впервые показал, что этим свойством обладают многие вещества, в частности, стекло, сера, сургуч, некоторые драгоценные камни. Специфической силе описанного взаимодействия было необходимо дать название. У. Гильберт назвал эту силу «электрической», термин закрепился сначала в научной, а потом и в бытовой лексике.

Долгое время не было известно, что молния является электрическим явлением. Страх перед разрушительной силой молнии, непредсказуемость её появления, невозможность её предотвращения – всё это порождало мистические представления о природе «небесного огня». Интересно, что при археологических раскопках египетских храмов на их стенах нашли надписи, в которых описана система защиты храмов от «небесного огня» с помощью высоких мачт с заостренными концами, установленными вокруг защищаемого храма. В древней Греции прикосновение к электрическому скату или электрическому угрю использовалось с лечебными целями. Приносило ли это пользу - неизвестно, но «лечение» было достаточно ощутимым: электрический разряд, производимый электрическим угрем, происходит при напряжении около 300 вольт. Демонстрации электрических явлений в XVII-XVIII веках служили в основном развлечению публики.

Знакомство с уровнем экспериментальных возможностей и теоретических представлений начала XVIII века в области электричества позволяет справедливо оценить и результаты опытов, и физическое их истолкование пионерами исследования электрического поля.

Взаимодействие электрических зарядов.

2.1.1. Электрический заряд. Изучение электрических явлений практически началось в XVIII веке. В 1729 г. Стефан Грей (? -1736) произвел условное разделение всех тел на «проводники» и «непроводники», позже Майкл Фарадей непроводники назвал «диэлектриками» (проводники экранируют электростатическое поле, а диэлектрики – нет, «диа»- по-гречески «через»). В 1734 г. Шарль Франсуа Дюфе (1698-1739) –директор Ботанического сада короля Франции - обнаружил, что электричество может быть разным. В докладе Парижской академии наук он писал: « существуют два совершенно различных рода электричества: электричество прозрачных тел (стекла, хрусталя и т.п.) и электричество битумных или смолистых тел (янтарь, копал, сургуч и т.п.). Каждый род электричества отталкивает тела, получившие его собственный заряд, и притягивает тела с зарядом противоположного рода. Мы наблюдаем даже, что тела, которые сами по себе не электризуются, могут получить электричество какого-то рода, после чего их действие будет подобно действию тел, сообщивших им этот заряд». Так появилось «стеклянное» и «смоляное» электричество. Электрические заряды на стекле, потертом о шелк, назвали «положительными», а электрические заряды на эбоните, потертом о мех, получили название «отрицательных зарядов». Понятия положительного и отрицательного зарядов и соответствующие обозначения («плюс» и «минус») в научный обиход ввёл Б. Франклин в 1750 г.

В естественных условиях проводники постепенно теряют электрический заряд, полученный ими в результате электризации. Особенно интенсивен этот процесс, если поверхность проводника содержит заостренные элементы. Сопутствующее процессу разрядки физического тела явление получило название электрического ветра: молекулы воздуха в окрестности острия под действием электрических сил ионизируются, возникающие одноименные с зарядом тела ионы удаляются от острия, ионы противоположного знака притягиваются к острию, соприкасаются с его поверхностью и постепенно разряжают проводник. Удаляющиеся ионы образуют «ионный» ветер, он может привести во вращательное движение «колесо Франклина». Устройство колеса Франклина показано на рисунке 1.

Теоретические представления тех времен об электричестве были достаточно примитивны, считалось, что заряд тела обусловлен наличием специфической невесомой электрической жидкости, недостаток которой обеспечивал отрицательный, а избыток - положительный заряд тела. По другой теории электрических жидкостей существует два вида: положительная и отрицательная, заряд тела обеспечивается «перевесом» той или иной жидкости. Подобные представления вписывались в представления науки тех времен о теплороде или флогистоне.

Современное представление об электрическом заряде сводится к признанию факта, что электрический заряд является специфической физической характеристикой элементарных частиц, из которых состоит вещество материи. Электрический заряд в микро-описании обладает свойствами инвариантности относительно преобразований систем отсчёта в теории относительности, его величина не зависит от скорости движения заряда и является положительной или отрицательной величиной, кратной величине элементарного заряда – заряда электрона

где 1 Кл = 1 А с – единица заряда в системе единиц измерения СИ. В системе СИ А - единица силы тока – входит в число основных единиц системы измерения и является эталоном.

Существование элементарных частиц материи с противоположными по знаку электрическими зарядами физики объясняют проявлением свойств симметрии микромира.

Дискретность электрического заряда впервые экспериментально установлена опытами американского физика Р. Милликена (1868-1953) в 1906-1915 г.г. и опытами А.Ф. Иоффе (1880-1960) в 1913 г. В опыте Милликена микроскопическая капля жидкости, несущая произвольный электрический заряд, падала в плоском конденсаторе с горизонтальными пластинами в поле сил тяжести. Равномерное движение капли достигалось при определенном значении напряжения на пластинах конденсатора. Под действием рентгеновских лучей происходило изменение величины заряда капли. Равномерное движение её восстанавливалось изменением напряжения на обкладках конденсатора. В результате многочисленных измерений Милликен обнаружил, что изменение заряда капли всегда кратно некоторой постоянной величине. Эта величина оказалась равной заряду электрона, открытого в 1897 г. Дж. Дж. Томсоном.

Экспериментально установлено, что во всех видах взаимодействия элементарных частиц имеет место закон сохранения электрического заряда. Мерой обоснованности этого утверждения может служить величина 10^-21 - относительная погрешность разности абсолютных значений зарядов протона и электрона. В рамках макро описания, учитывая малую величину заряда электрона, можно использовать представление о произвольной (непрерывной) величине заряда макроскопического тела. При этом важнейшую роль в классической макроскопической по природе электродинамике играет закон сохранения электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда был открыт в 1750 г. Бенджамином Франклином: алгебраическая сумма электрических зарядов в замкнутой системе постоянна. В открытой системе величина электрического заряда может измениться только при условии перетекания электрических зарядов через замкнутую поверхность, ограничивающую рассматриваемую систему.

2.1.2. Первые электрические устройства и измерительные приборы. Проблемы получения значительных электрических зарядов и изменение во времени электрических зарядов на проводниках во многом затрудняло получение достоверных количественных результатов в исследовании взаимодействия наэлектризованных тел. Кроме того, отсутствовали соответствующие средства измерения.

Устройства для проведения опытов со значительными электрическими зарядами впервые появились в 1745 г., Э.Ю. фон Клейст и Мушенбрек независимо друг от друга изобрели первый в мире электрический конденсатор – в банку с водой через горлышко ввели железный гвоздь. В следующем году банку с водой заменили банкой с обкладками из металлической фольги с обеих сторон – внутри и снаружи, Винклер в Германии и Франклин в Америке соединили банки в параллель, тем самым соорудили мощные «батареи», как они были названы Б. Франклином.

Простейший способ получения электрического заряда трением поверхности стекла о кожу после ряда промежуточных попыток был реализован в дисковой электрической машине, известной как машина Рамсдена (создана около 1760 г). Первый электрический генератор с передачей зарядов движущейся лентой (ремнём) был построен в Московском высшем техническом училище имени Н.Э.Баумана профессором Угримовым в 1926 г., генератор позволял получать напряжение около 70 тысяч вольт (рис. 1). В школьной физической лаборатории широко используется электрофорная машина Гольца, в которой используется явление электризации через влияние (явление электростатической индукции). В электростатических генераторах Ван-дер-Граафа используется явление перехода электрического заряда с внутренней поверхности проводника на его внешнюю поверхность. Это явление обнаружил М. Фарадей. Генераторы Ван-дер-Граафа способны создавать максимальное напряжение от 3 до 5 миллионов вольт.

Первым прибором, который был использован при исследовании электрического взаимодействия, был стерженёк, подвешенный в одной точке на тонкой нити наподобие магнитной стрелки. Этот прибор описан в книге Дж. Фракасторо в 1550 г., им широко пользовался У. Гильберт и называл «версором». По сути дела, это был первый электроскоп. Позже конструкция электроскопа претерпела ряд модификаций и приобрела вид, показанный на рис. 2. Если шарику электроскопа 1 сообщить электрический заряд, листочки 4 разойдутся на некоторый угол. Величина расхождения листочков электроскопа может служить мерой величины заряда измерительного шарика. Если вместо одного из

листочков электроскопа поместить неподвижную проводящую пластинку и снабдить описываемое устройство измерительной шкалой, то электроскоп превращается в электрометр. Конструкция электрометра может быть разной, измерительный элемент тоже может быть разным, но принцип действия прибора остается неизменным: измерительный прибор реагирует на величину заряда, помещенного на измерительный шарик. В связи с обсуждаемым вопросом представляет интерес замечание Галилео Галилея о том, что у всех экспериментаторов измерительный прибор что-то показывает, а задача настоящего учёного состоит в том, чтобы догадаться, что именно. В процессе измерения шарик электроскопа соединяют с проводником, на котором имеется электрический заряд. Часть этого заряда перетекает на измерительный шарик электроскопа. Процесс перетекания заканчивается при выравнивании потенциалов проводника и измерительного шарика. Заряд измерительного шарика определяется при этом величиной соответствующей ёмкости шарика. В книге А. Эйнштейна и Л. Инфельда «Эволюция физики» описан «мысленный» эксперимент с применением электроскопа. Авторы книги полагали при анализе физической ситуации, что электроскоп реагирует на заряд исследуемого проводника, а не на потенциал его поверхности. На эту ошибку указал английский физик Липтон. Заметим, что реальный эксперимент действительно не соответствует описанному мысленному эксперименту уважаемых авторов.

Значительную роль в установлении закона взаимодействия между собой электрических зарядов сыграло изобретение так называемых крутильных весов. По английской версии истории физики изобретением крутильных весов человечество обязано Джону Митчеллу (1724-1793). Шарль Огюстен Кулон (1736-1806)– французский военный инженер – изобрёл крутильные весы, справедливо называющиеся «крутильными весами Кулона», несколько позже, но независимо от Митчелла, и теоретически обосновал принцип работы этого измерительного устройства. Он установил, что угол закручивания длинной тонкой упругой нити пропорционален моменту сил, приложенному к свободному концу нити, длине нити и обратно пропорционален четвертой степени диаметра нити. Коэффициент пропорциональности зависит по представлениям Кулона от свойств материала нити. Студенты технических вузов в этой закономерности легко узнают одно из соотношений науки о сопротивлении материалов, но в описываемое время полученный результат был значительным научным достижением. Ш.О. Кулон открыл динамический метод измерения физических величин. Сущность этого метода состоит в том, что истинное равновесное значение показаний стрелочного прибора, например, можно рассчитать как полусумму максимального и минимального показаний прибора в двух последовательных отклонениях стрелки от положения равновесия. Второе свойство гармонической колебательной системы (весы Кулона являются такой системой) состоит в том, что частота собственных колебаний системы зависит от величины возвращающей силы и может быть использована для определения этой силы (достаточно вспомнить метод определения ускорения свободного падения на поверхности Земли с помощью математического или физического маятника).

2.1.3. Закон Кулона. К последней четверти XVIII века было установлено, что в природе существуют электрические заряды двух типов – положительные и отрицательные, одноименные заряды отталкиваются друг от друга, а разноименные – притягиваются. Перед физиками встал вопрос об установлении природы и математической закономерности электрического взаимодействия заряженных физических тел. В общей постановке эта проблема осложняется из-за произвольной поверхности взаимодействующих тел, возможной разницы в свойствах взаимодействующих тел (проводник, диэлектрик), произвольного расположения и ориентации в пространстве взаимодействующих физических тел. Характер взаимодействия электрических зарядов удалось установить при изучении взаимодействия двух настолько малых тел, что рассматриваемые заряды можно было считать «точечными». Подобная абстракция ранее оказалась успешной при изучении гравитационных явлений. Фундаментальный физический закон взаимодействия электрических зарядов по праву носит имя «закон Кулона», хотя его, как почти всякий великий закон природы, открывали несколько раз. Даниил Бернулли в 1760 г. предполагал, что сила взаимодействия электрических зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Джозеф Пристли (1733-1804) в декабре 1766 г. провел опыт электризации полого металлического сосуда: на его внутренней поверхности не оказалось заряда, а в воздухе внутри сосуда отсутствовала электрическая сила. В публикации 1777 г. он писал: «Разве нельзя заключить из этого опыта, что сила электрического притяжения подчиняется тем же законам, что и сила тяжести, а, следовательно, зависит от квадрата расстояния между зарядами? Легко показать, что если бы Земля была полой, то тело, находящееся внутри неё притягивалось бы к одной стороне не более чем к другой». Джон Робисон (1739-1805) в 1769 г. в Эдинбурге определил силу электрического взаимодействия с помощью прямого опыта и обнаружил, что эта сила обратно пропорциональна расстоянию между одинаковыми по знаку зарядами в степени 2,06, а для разноименных зарядов эта степень несколько меньше 2. Заключение Робисона – справедлив закон обратных квадратов. Генри Кавендиш (1731-1810) выполнил «опыт Кавендиша», схема которого показана на рис.1. Металлический шар 1 и две соединенные вместе полусферы 2 , изолированные от земли, соединяли проводником 4 и заряжали. О наличии заряда на полусферах судили по показаниям электроскопа. После этого проводник удаляли, не разряжая устройство, полусферы раздвигали и разряжали.

С помощью электроскопа пытались обнаружить наличие электрического заряда на шаре. Результат опыта: на шаре нет электрического заряда. Этот результат можно объяснить только тем, что для взаимодействия электрических зарядов справедлив закон обратных квадратов. Кавендиш не опубликовал результаты своих экспериментов, и долгое время о них никто ничего не знал.

В 1785 г. Кулон выполнил фундаментальное экспериментальное исследование взаимодействия электрических зарядов с помощью крутильных весов. Чтобы установить зависимость силы взаимодействия «точечных» зарядов от расстояния между ними, неподвижному малому шарику и малому шарику, закрепленному на коромысле крутильных весов, сообщают произвольные, не обязательно равные электрические заряды (рис.3 предыдущего раздела). Положение зарядов в пространстве определяется силой их взаимодействия и силой, возникающей от закручивания упругой нити. Меняя угол закручивания нити, можно изменять расстояние между заряженными шариками. После многократных экспериментов Кулон опубликовал результаты трёх измерений: расстояния между шариками относились как 36:18:8,5, а силы взаимодействия как 36:144:575. Сила взаимодействия двух «точечных» неподвижных зарядов в воздухе в отсутствие поблизости других электрических зарядов оказалась почти точно обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Кулон определил при этом, что сила взаимодействия электрических зарядов является центральной, т.е. направлена по прямой линии, соединяющей точки расположения электрических зарядов. Сила взаимодействия между электрическими зарядами зависит от величин зарядов.

Экспериментальная установка Кулона позволяла дозированно изменять величину заряда каждого из шариков. Действительно, если прикоснуться к заряженному шарику из проводящего материала точно таким же шариком, то, наверное, на каждом из соприкасающихся шариков останется по половине электрического заряда. Опыты с кратно изменяющимся точечным зарядом на установке Кулона привели к установлению прямой пропорциональной зависимости силы от величины первого заряда при постоянной величине второго заряда и, аналогично, от величины второго заряда при постоянной величине первого заряда. Обобщая эти результаты, можно сказать, что сила взаимодействия пропорциональна произведению величин взаимодействующих электрических зарядов.

Менее известны опыты Кулона по измерению частоты колебаний малой заряженной пластинки на упругом изолирующем стерженьке около изолированного металлического шара, заряженного противоположно заряду пластинки и расположенного так, что плоскость одного из его горизонтальных диаметров проходит через центр пластинки, когда она находится в равновесии. По измеряемой частоте колебаний можно вычислить силу электрического взаимодействия. Результаты этих опытов полностью подтвердили справедливость закона обратных квадратов.

Относительная погрешность экспериментальных результатов Кулона составляла несколько процентов, что для его времени можно считать большим достижением. Позднее Максвелл повторил опыт Кавендиша и рассчитал возможную экспериментальную погрешность установления закона обратных квадратов, оказалось, что показатель степени в законе взаимодействия отличается от 2 не более чем на 1/21600. В 1936 г. величина погрешности определения степени расстояния в законе обратных квадратов составляла 10^-9, а современное значение возможной погрешности составляет всего . За этим результатом кроется несколько фундаментальных выводов, в частности,физики считают, что масса покоя фотона, если она существует, меньше 1,6^.10^{-50 кг. Закон обратных квадратов Кулона оказывается справедливым не только в области макроскопических масштабов, но и в области микромира, по крайней мере, до расстояний порядка 10-15}м.

Таким образом, можно считать установленным закон Кулона:

- два точечных неподвижных электрических заряда в вакууме в отсутствие других электрических зарядов взаимодействуют между собой с силой, прямо пропорциональной произведению зарядов, обратно пропорциональной квадрату расстояния между зарядами и направленной по прямой линии, соединяющей точки расположения зарядов в пространстве, одноимённые заряды при этом отталкиваются друг от друга, а разноимённые притягиваются друг к другу.

Фундаментальность закона Кулона как основного закона электростатики состоит ещё и в том, что этим законом вводится в физику количественное понятие электрического заряда. До установления закона Кулона термин «количество электричества» имел интуитивный, скорее качественный, чем количественный смысл.

Математическая формулировка закона Кулона имеет вид:

(1)

Здесь - коэффициент пропорциональности, который зависит от выбора единиц заряда, расстояния и силы. В системе единиц СИ этот коэффициент равен

, (2)

при этом заряд измеряют в кулонах, расстояние в метрах, а силу – в ньютонах. Величину называют электрической постоянной и приписывают ей определенную размерность – «фарад на метр» Ф/м (Кл²/м²Н). С величиной единицы электрической ёмкости «фарад» мы познакомимся в последующих разделах курса.

Соотношение (1) можно записать в форме, позволяющей учесть направление действия силы F:

, (3)

где - вектор силы, действующей со стороны заряда на заряд , а - вектор, проведенный из точки расположения заряда в точку расположения заряда , в знаменателе формулы (3) стоит модуль этого вектора.

Заметим, что направление силы зависит ещё и от знака произведения электрических зарядов , при отрицательном значении этого произведения сила направлена противоположно вектору (рис.2).

Формула (3) не зависит от выбора декартовой системы координат – в этом её преимущество и недостаток. В конкретной декартовой системе координат рассмотрим электрический заряд , положение которого описывается радиус-вектором с компонентами , и заряд q, положение которого в пространстве описывается радиус-вектором с компонентами . Силу, с которой заряд действует на заряд q, можно записать с учётом конкретной системы координат:

. (4)

В выражении (4) проекции вектора суть , а модуль этого вектора определен соотношением . Преимущество записи (4) состоит в том, что зачастую при проведении практических расчетов значительно проще описать положение в пространстве взаимодействующих зарядов, чем величину и ориентацию вектора . Заметим, что последний сомножитель в правой части формулы (4) обладает свойствами единичного вектора, т.е. орта направления действия силы.

2.1.4. Принцип суперпозиции сил взаимодействия электрических зарядов. Важнейшим обобщением опытных фактов взаимодействия электрических зарядов в электростатике является принцип суперпозиции сил. Суть его состоит в том, что взаимодействие электрического заряда q с системой электрических зарядов происходит следующим образом. Каждый заряд системы взаимодействует с выделенным зарядом q независимо от действия остальных зарядов системы, а сила действия системы электрических зарядов на выделенный электрический заряд определяется как векторная сумма сил действия отдельных зарядов системы на выделенный заряд

(1)

где - сила действия электрического заряда с порядковым номером k на заряд q.

Формулировка принципа суперпозиции поясняется на рис. 1. Пусть для определённости положительный электрический заряд q расположен в точке пространства, описываемой радиус-вектором . Отрицательный электрический заряд величиной расположен в точке пространства, описываемой радиус-вектором . Сила - это сила, с которой заряд действует на заряд . Положительный электрический заряд величиной расположен в точке пространства, описываемой радиус-вектором . - сила, с которой заряд действует на заряд . Результирующее действие зарядов и на заряд определяется сложением векторов и по правилу параллелограмма или треугольника. При использовании координатной формы записи операции сложения векторов пользуются правилом: проекция векторной суммы на выбранную ось координат равна сумме проекций слагаемых и на эту же ось координат:

, , . (2)

Полезно при этом помнить, что модуль векторной суммы не равен сумме модулей слагаемых векторов.

Непрерывное распределение электрического заряда.До сих пор рассматривалось взаимодействие сосредоточенных («точечных») электрических зарядов. Электрический заряд может быть «распределён» по объёму тела, по поверхности тела или по длине некоторой пространственной или плоской кривой линии. Физическое содержание этого понятия заключается в следующем: предполагается, что величина электрического заряда может быть пропорциональна величине рассматриваемого объёма заряженного тела, или величине рассматриваемой площади заряженной поверхности, или рассматриваемой длине заряженной линии (заряженной нити). Соответствующие коэффициенты пропорциональности называются объёмной плотностью электрического заряда, поверхностной плотностью электрического заряда или линейной (иногда говорят «погонной») плотностью электрического заряда. Иначе, объёмная плотность электрического заряда в рассматриваемой точке пространства численно равна величине электрического заряда в выделенном объёме в малой окрестности рассматриваемой точки пространства в пересчете на единицу объёма:

.(3)

Размерность объёмной плотности электрического заряда равна Кл/м³.

Поверхностная плотность электрического заряда в рассматриваемой точке заряженной поверхности численно равна величине электрического заряда в выделенном элементе поверхности в малой окрестности рассматриваемой точки М поверхности в пересчете на единицу площади поверхности:

(4)

Размерность поверхностной плотности электрического заряда равна Кл/м².

Линейная плотность электрического заряда в рассматриваемой точке заряженной кривой линии численно равна величине электрического заряда в выделенном элементе длины в малой окрестности рассматриваемой точки М кривой линии в пересчете на единицу длины кривой линии:

(5)

Размерность линейной плотности электрического заряда равна Кл/м.

Целесообразность введения описанных параметров непрерывного распределения электрического заряда объясняется возможностью рассматривать соответствующие элементарные электрические заряды как «точечные», поскольку величины по условию являются физически бесконечно малыми, а соответствующие плотности зарядов имеют в реальных ситуациях, как правило, конечную величину. Взаимодействие описанных элементарных зарядов происходит в соответствии с законом Кулона.

Закон взаимодействия точечных электрических зарядов Кулона в сочетании с принципом суперпозиции позволяют рассчитать силу взаимодействия двух электрически заряженных тел конечных размеров и произвольной формы, если известны (или заданы) распределения электрических зарядов по объёмам и поверхностям рассматриваемых тел.