Математические модели сигналов
Пример 1. Случайная величина – число бросаний монеты до первого выпадания герба. Найти:
а) ряд распределения случайной величины ,
б) математическое ожидание ,
в) математическое ожидание двоичного логарифма вероятности .
Решение. Возможные значения случайной величины
равны 1, 2, 3,... . Для осуществления события необходимо, чтобы в первых -1 бросаниях выпадали решетки, а в n-м бросании выпал орел, поэтому по формуле умножения вероятностей независимых событии. Ряд распределения дан в табл. 1.
Математическое ожидание числа бросаний вычислим по формуле (1.2) [1], положив
,
Математическое ожидание двоичного логарифма вероятности X также вычисляем по формуле (1.2) [1], положив , т. е.
Пример 2. По двоичному каналу связи с помехами (рис. 1) передаются сообщения и с априорными вероятностями и . Влияние помех описывается переходными вероятностями:
, ,
, .
Найти: а) безусловные вероятности сигналов на выходе канала;
б) наиболее вероятное значение , если ;
в) наиболее вероятное значение , если .
Решение. Совместные вероятности сообщения и сигнала вычисляем по формуле умножения вероятностей (1.8) [1]:
, ,
.
Безусловные вероятности сигналов на выходе канала вычислим по формуле полной вероятности (1.7) [1]:
,
.
Условные вероятности сообщений на входе находим по формуле Байеса (1.9) [1]:
,
,
,
.
Сравнив и , видим, что если принят сигнал , то более вероятно, что было передано сообщение . Сигнал мог быть с одинаковой вероятностью вызван сообщениями и .
Пример 3. Сигнал на выходе непрерывного канала связи выражается через входной сигнал соотношением , где – аддитивный нормальный стационарный белый шум с односторонней спектральной плотностью В/Гц, ограниченный полосой от 0 до МГц. Суммарная мощность составляющих в спектре сигнала , лежащих вне указанной полосы, пренебрежимо мала.
Осуществить квантование по времени сигнала на интервале от 0 до секунды. Для конкретной реализации входного сигнала (в вольтах)
найти для квантованного сигнала:
а) вектор условных математических ожиданий;
б) условную корреляционную матрицу;
в) условную плотность вероятности квантованного сигнала на выходе.
Решение. Чтобы осуществить квантование непрерывного по времени сигнала , необходимо взять его отсчеты в моменты времени , , где .
Верхняя граничная частота суммы сигнала с шумом равна , поэтому шаг квантования определяется в соответствии с теоремой Котельникова
мкс.
Требуемое число отсчетов равно .
Каждый отсчет сигнала является суммой двух величин
,
где - отсчет сообщения;
- отсчет шума.
Вектор условных математических ожиданий сигнала состоит из следующих элементов
и определяется только передаваемым сообщением, так как математическое ожидание белого шума равно нулю.
Условная корреляционная матрица B сигнала при фиксированном состоит из следующих элементов
и равна корреляционной матрице отсчетов шума. Элементы этой матрицы есть отсчеты корреляционной функции шума
.
Шум стационарен, поэтому его корреляционная функция зависит от разности аргументов и может быть найдена по теореме Винера – Хинчина (1.21) [1]
,
где – спектр плотности мощности шума.
По условию задачи, он равномерен в полосе 0… ,
Находим выражение для корреляционной функции
.
Поскольку , то
.
Отсюда видно, что при т.е. отсчеты , взятые с шагом квантования , некоррелированы. Таким образом, в корреляционной матрице отсчетов сигнала не равны нулю будут только элементы, стоящие на главной диагонали,
,
численно равные дисперсии этих отсчетов (вольт2).
Условная плотность вероятности квантованного сигнала есть совместная плотность вероятности системы некоррелированных (следовательно, и независимых) нормальных случайных величин
.
Пример 4. Доказать, что для любой положительной случайной величины (имеющей только положительные возможные значения) при справедливо неравенство Иенсена
.
Доказать, что для любой системы случайных величин и любой функции , таких, что при всех возможных значениях системы, справедливо аналогичное неравенство
.
Найти необходимые и достаточные условия, при которых неравенства обращаются в равенства.
Решение. Сначала убедимся, что непрерывная функция является строго выпуклой вверх, т.е. ее вторая производная отрицательна при любых .
Действительно,
, при .
Следовательно, график функции лежит ниже касательной, проведенной в любой точке (рис. 2):
,
причем знак равенства выполняется только в точке касания .
Предположим, что – положительная случайная величина, тогда полученное неравенство справедливо для любого из ее возможных значений и, следовательно, при усреднении обеих частей знак неравенства сохранится:
.
Выбрав абсциссу точки касания , получим окончательно
.
Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда все возможные значения случайной величины , т.е. если величина X не случайна.
Пусть случайная величина получена в результате функционального преобразования системы случайных величин , тогда в силу доказанного неравенства имеем
.
Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда величина не случайна.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 234;