Непрерывные случайные величины

Не дискретные случайные величины характеризуются тем , что множество их возможных значений несчетно. Примеры не дискретных случайных величин:

Время опаздывания поезда , погрешность измерения угла с помощью угломера, длительность телефонного соединения. У всех этих случайных величин множество возможных значений непрерывно заполняет какой-то участок абсцисс.

Функция распределения случайной величины Х F(x)=P{X<x}

Если функция распределения случайной величины Х при любом х непрерывна и кроме того имеет производную F’(х) везде кроме может быть отдельных точек, то случайная величина Х называется непрерывной.

Вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна 0.

Для любой случайной величины (дискретной или непрерывной) вероятность попадания случайной величины на участок абсцисс от α до β (включая α и не включая β) выражается формулой

P{α X<β} = F(β) – F(α)

Так как для непрерывной случайной величины P{X=α} =0 , то знак равенства можно отбросить

P{α<X<β} = F(β) – F(α)

Или в других обозначениях

P{X (α,β)}= F(β) – F(α)

Плотностью вероятности (или плотностью распределения или просто плотностью ) непрерывной случайной величины Х называется в производная функции распределения:

f(x) = F’(x)

Элементом вероятности для непрерывной случайно величины Х называется величина f(x)dx, приближенно равная вероятности попадания случайной величины Х на элементарный отрезок dx примыкающий к точке х:

f(x)dx P{x<X<x+dx}

Плотность f(x) не отрицательна (f(x) 0) и обладает свойством

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на участок от α до β оределяется выражением

P{α<X<β} =

Функция распределения непрерывно случайной величины Х выражается через ее плотность

F(x) =

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью f(x) называется ее среднее значение , вычисляемое по формуле

M[X] =

Дисперсия непрерывной случайной величины Х

= M[(X-m_x)²]

Вычисляется по формуле

Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратичным отклонением от случайной величины:

Для неотрицательной случайной величины в качестве характеристики меры ее случайности применяется коэффициент вариации

v_x = σ_x/m_x

Коэффициент вариации зависит от начала отсчета случайной величины.

Среднее квадратичное отклонение может быть применено для ориентировочной оценки диапазона возможных значений случайной величины. При этом пользуются правилом трех сигма, состоящим в том, что диапазон практически возможных значений случайной величины Х не выходит за пределы

Начальный момент k-го порядка

α_k[X] = M[X^k]

для непрерывной случайной величины выражается формулой

α_k[X] =

Центральные моменты вычисляются по формулам:

μ_k [X]=

Центральные моменты могут быть выражены через начальные совершенно также как для дискретной случайной величины

D[X]= α₂[X] – m_x²

D[X]==M[X²]-(M[X])²

Если вероятность какого-либо события А зависит от того какое значение приняла непрерывна случайная величина Х с плотностью f(x) то полная вероятность события А вычисляется по интегральной формуле полной вероятности

где P(A|x) = P{A|X = x} условная вероятность события А при гипотезе {X=x}

Равномерное распределение

Случайная величина Х имеет равномерное распределение на участке от a до если ее плотность на этом участке постоянна:

Значения f(x) в точках a и b никак не определены, это не существенно, так как вероятность попадания в любую из них равна 0 и, значит, вероятность любого события, связанного со случайной величиной Х не зависит от того какое значение имеет плотность в точках a и b.График плотности вероятности показан на рис.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение для случайной величины Х имеющей равномерное распределение равны соответственно:

Равномерное распределение имеют ошибки грубых измерений при помощи инструмента с крупными делениями, когда измерение округляется до ближайшего целого.

Типичные условия возникновения равномерного распределения состоит в следующем: точка М случайным образом бросается на ось 0х разделенную на равные интервалы длины l. Каждый из случайных Х и Y на которые точка М делит интервал на который она попала, имеет равномерное распределение на участке (0,l).

Показательное распределение

Случайная величина Х имеет показательное распределение , если ее плотность выражается формулой

Где λ – параметр показательного распределения

Математическое ожидание дисперсия и среднее математическое отклонение величины Х, имеющей показательное распределение равны соответственно:

M[X]=1/λ D[X]= 1/λ² σ_x=1/λ

Коэффициент вариации показательного распределения равен 1

v_x= σ_x/m_x=1

Часто запись заменяют более краткой:

f(x) = λe^-λx (x>0)

Нормальное распределение

Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или распределена по нормальному закону ) если ее плотность

Математическое ожидание случайной величины ,имеющей нормальное распределение равно m, дисперсия σ² , среднее квадратичное отклонение σ.

(Преобразованием t-(x-m)/σ нормальное распределение с произвольными параметрами m и σ приводится к стандартному нормальному закону с парfметрами m=0 ,σ=1 )

Вероятность попадания случайной величины Х, имеющей нормальное распределение с параметрами m и σ выражается формулой

, где

Ф(х) – функция Лапласа:

Функция Лапласа обладает свойствами:

Ф(0)=0; Ф(-х)=-Ф(х) (нечетная функция) Ф( )=0,5

Таблицы функции Лапласа приведены в учебниках по теории вероятности.

Если участок (α, β) симметричен относительно точки m то вероятность попадания на в него

P{|X-m|<l} = 2Ф(l/m)

l=(β – α)/2 – половина длины участка. Нормальное распределение возникает тогда, когда величина Х образуется в результате суммирования большого числа независимых (или слабо зависимых случайных слагаемых, сравнимых по своему влиянию на рассеивание суммы.

Контрольные вопросы:

1. Как определяется функция распределения случайной величины?

2. Какие случайные величины называют непрерывными?

3. Чему равна вероятность каждого отдельного значения случайной величины?

4. Чему равна вероятность попадания случайной величины на участок оси абсцисс от α до β?

5 Что называют плотностью случайной величины?

6. Как выражается вероятность попадания случайной величины на участок оси абсцисс от α до β через плотность?

7. Как выражается функция распределения случайной величины через плотность?

8. Что называют математическим ожиданием непрерывной случайной величины?

9. Чему равна дисперсия непрерывной случайной величины?

10. Чему рана плотность распределения равномерной случайной величины?

11. Чему равна плотность показательного распределения?

12. Какой формулой выражается вероятность попадания на участок оси абсцисс от α до β случайной величины , имеющей нормальное распределение, математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение σ?