Вынужденные колебания в системе с двумя степенями свободы

Рассмотрим вынужденные колебания в системе из двух индуктивно связанных контуров, в один из которых включен источник внешнего переменного напряжения u₀(t) = U₀cos(w₀t) (рис. 62).

Запишем уравнения колебаний для этих контуров, пренебрегая вначале затуханием (R1 = R2 = 0): Уравнения колебаний токов принимают в этом случае вид	Рис. 62. Схема связанных контуров при внешнем воздействии.
	(7.14)

где обозначено

,  ,  ,  .

Система линейная, следовательно, в силу принципа суперпозиции, колебания в системе будут состоять из собственных колебаний с частотами w₁ и w₂ и вынужденных колебаний с частотой внешней силы w₀. Собственные колебания ищем в виде

,  .

Подставив в (7.14), получим следующую систему уравнений относительно амплитуд A и B:

,  .

Известно, что система имеет нетривиальное решение, если её детерминант равен нулю:

.

Решив это уравнение, можно найти выражение для собственных частот:

.

Нетрудно найти выражение для коэффициентов распределения амплитуд:

.

Вынужденные колебания происходят на частоте внешней силы. Так как нет диссипации, то сдвиг фаз будет равен нулю, следовательно, решение уравнений (7.14) для вынужденных колебаний будем искать в виде

,  .

Подставляя в исходное уравнение (7.14), получим

,  .

(7.15)

Из второго уравнения найдём коэффициент распределения амплитуд вынужденных колебаний

.

Видно, что c₀(w₀ = w₁) = c₁, а c₀(w₀ = w₂) = c₂. Таким образом, отношение амплитуд вынужденных колебаний в контурах совпадает с отношением амплитуд при собственных колебаниях (на соответствующей частоте). Решая систему (7.15), получим выражения для амплитуд:

,  .	(7.16)
Рис. 63. Зависимости I1 и I2 для консервативной системы с двумя степенями свободы от частоты внешней силы.	На рис. 63 приведены зависимости I1 и I2 от частоты внешней силы w0. В точках w0 = w1 и w0 = w2 амплитуды I1 и I2 обращаются в бесконечность. Таким образом, в системе с двумя степенями свободы резонансное увеличение амплитуды колебаний происходит на обеих собственных частотах системы. При w0 < n2 токи совершают противофазные колебания, а при w0 > n2 - синфазные. В точке w0 = n2 амплитуда I1 обращается в нуль, т. е. происходит гашение колебаний в первом контуре. Это явление легко объяснить тем, что в отсутствие потерь на частоте n2 обратная реакция второго контура на первый точно равна внешнему воздействию. Во втором контуре колебания не обращаются в нуль ни при каком конечном w0. Частота успокоения в общем случае зависит от того, в какую из ветвей сложного контура включена внешняя ЭДС. Она всегда равна парциальной частоте того контура,

который получается при разрыве цепи в точке включения ЭДС.

Выясним физическую причину отсутствия колебания в первом контуре при w₀ = n₂. Для этого рассчитаем ЭДС, наводимую в первом контуре на этой частоте колебаниями второго контура (воспользуемся уравнением (7.16), положив w₀ = n₂):

.

Как видно, u в точности компенсирует внешнюю ЭДС, поэтому вынужденные колебания в первом контуре на частоте n₂ не происходят.

Задачу о вынужденных колебаниях в диссипативной системе удобно решать с помощью МКА. Рассматривая систему связанных контуров (рис. 62) относительно входных зажимов как линейный двухполюсник с полным сопротивлением Z, получим из уравнений (7.14)

,  .

Решая эту систему уравнений, находим полное сопротивление

.

(7.17)

Условие резонанса в этом контуре сводится к равенству нулю реактивного сопротивления, т. е. ImZ(w₀) = 0. Введём относительные расстройки контуров

, 

и парциальные декременты затухания

,  .

Тогда условие резонанса будет иметь вид:

.

В случае одинаковых парциальных частот контуров (n₁ = n₂ = n) относительные расстройки равны (D₁ = D₂ = D), и мы получаем очень простое условие резонанса:

.

Из этого уравнения находим три значения D:

,  .

Следовательно, система двух связанных контуров имеет три резонансные частоты

,  ,  .

Рис. 64. Резонансные кривые двух связанных контуров с равными парциальными частотами при коэффициенте связи меньшем критического (1), равным критическому (2) и большем критического (3).

Если затухание во втором контуре велико ( ), то остаётся одна резонансная частота w01 = n. Система с двумя степенями свободы ведёт себя в этом случае как система с одной степенью свободы. Если затухание мало (при ), то резонанс возможен на всех трёх частотах. Коэффициент связи, при котором выполняется условие называется критическим. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) двух связанных контуров при различных коэффициентах связи показана на рис. 64. При критической связи АЧХ связанных контуров имеет плоскую вершину и более крутые, чем одиночный контур, склоны.

Рассмотрим теперь особенности вынужденных колебаний в двухконтурной системе без потерь при одновременном действии внешних источников в обоих контурах (u₀₁ и u₀₂). Уравнения колебаний для токов в таких контурах имеют вид:

,  .

Мы считаем, что внешние источники действуют на одной и той же частоте и синфазны, т. е. u₀₁ = U₀₁cos(w₀t), u₀₂ = U₀₂cos(w₀t). Решая методом комплексных амплитуд, находим

, .

(7.18)

Из (7.18) вытекают два интересных следствия. Это, во-первых, принцип взаимности, который гласит: амплитуда вынужденных колебаний во втором контуре при включении некоторого источника в первый равна амплитуде колебаний в первом контуре, если тот же источник включить во второй контур, т. е. I₂(U₀₂ = 0, U₀₁ = U) = I₁(U₀₁ = 0, U₀₂ = U). Принцип взаимности является следствием линейности системы. Этот принцип можно доказать, хотя и более громоздко, и для контуров с потерями. Важное для радиофизики следствие принципа взаимности - диаграммы направленности антенн на излучение и на приём одинаковы.

Вторая особенность вынужденных колебаний в системе с двумя степенями свободы заключается в том, что при определённом соотношении между амплитудами внешних источников в системе может отсутствовать резонанс, даже если частота внешнего источника совпадает с одной из нормальных (собственных) частот. Это происходит, когда и числитель и знаменатель в соотношениях (7.18) обращаются в нуль. Например, для частоты w₀ = w₁ соотношение между амплитудами имеет вид

.

(7.19)

Условие (7.19) называется условием ортогональности внешней силы собственному колебанию с частотой w₁.