Геометрическая сторона задачи.
Она связана с применением гипотезы Бернулли (плоских сечений)
Экспериментально установлено, что при кручении круглого бруса ось стержня не меняет своей длины и формы, а поперечные сечения, плоские и нормальные к плоскости бруса до приложения крутящего момента, остаются такими же после приложения крутящего момента, и поворачиваются друг относительно друга. Физическая модель резинового бруса: поперечные сечения закручиваются друг относительно друга.
Выделим участок бруса длиной dz и имеющего радиус r (рис. 8.2).
Рис. 8.2 Участок бруса
Пусть левая часть неподвижна.
(4)
j - абсолютный угол поворота
q - относительный угол закручивания (поворота), приходящийся на единицу длины
g - угловая деформация
Физическая сторона задачи
Заключается в применении закона Гука.
Закон Гука для угловых деформаций:
t = g×G (5), G – модуль сдвига (модуль упругости II–го рода)
Gстали = 8×104 МПа = 8×1010 Па
Объединяя три стороны задачи, получаем:
Рис. 8.3 Эпюра касательных напряжений
из (4), получаем g = r×q => (5) Mкр = t×r dF
t = r×s× G (6) => (2) Mкр = r2×q×G dF (2) = q×G r2 dF
const Ip
Ip = r2 dF – полярный момент инерции
Ix = Iy = p×D4/64; Ip = 2×Ix = 2×Iy = p×D4/32
q = Mкр/ (G×Ip) (7)
(7)®(6) => t = (Mкр×r×G)/Ip= (Mкр×r)/Ip
t = (Mкр×ri)/Ip (8)
Анализируя формулу (8), делаем вывод, что касательные напряжения при кручении распределяются по нормальному закону (рис. 8.3).
tmax возникают при r =
Wp = Ip/(D/2) – полярный момент сопротивления
Для круглого сплошного сечения: Wp = (p×D3)/16
Тогда tmax = Mкр/Wp; Мкр/Wк [t], где Wк – момент сопротивления при кручении, равный в данный момент Wp.
tmax = Mкр/Wк£ [t] – условие прочности при кручении.
8.1.1 Геометрические характеристики Ip и Wp
характеристики | Ip | Wp | ||||
| ||||||
|
Анализируя эпюру t, мы видим, что в центре сечение не нагружено, т.о. рациональным сечением является не сплошной вал, а кольцо.
Задача
|
Рис. 8.4 Полое и сплошное сечения вала
Равнопрочные:
tmax1 = tmax2
tmax1 = Мкр/Wp1
tmax2 = Мкр/Wp2
Мкр/Wp1 = Мкр/Wp1Þ 1/Wp1 = 1/Wp1
(p×D31)/16 = [(p×D32)/16]×(1–(d24/D24))Þ1/D13 = 1/(D23(1–0.84));
0.59 D23 = D13;
D1 = D×0.839.
Сопоставляем сечения 1 и 2 по металлоемкости:
F1/F2 = [(p×D12)/4]/[((p×D22)/4)–(1–d22/D22)] = 1.9.
8.2 Кручение прямоугольных стержней
При кручении прямоугольных стержней гипотеза плоских сечений не выполняется, так как сечения искривляются - депланируют. Задача о кручении прямоугольных стержней решается в теории упругости.
Готовые формулы
h>b
Рис. 8.5 Эпюра касательных напряжений для некруглых стержней
В углах и центре тяжести 0
где Wk = a×b2×h - момент сопротивления при кручении
Ik = b×b3×h -
a, b, g -коэффициенты, зависят от соотношения
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1260;