Поиск равновесных ситуаций

Геометрический смысл условий (2.7.4) рассмотрим на примерахописанных выше биматричных игр.

Борьба за рынки

Напомним, что ситуация, сложившаяся вэтой задаче, задается платежными матрицами следующего вида:

А= , В= .

Заменяя в неравенствах (2.7.4) величины С,a, D иb их конкретными значениями

С= -10 -2-1-1= -14, a = -l-2= -3, D= 5+2+1+1= 9, b= 1+1= 2,

получаем

(l) (p-l) (-14q-(-3)) ³0, (r) (q-l) (9p-2) ³0,

р(-14q-(-3)) ³0, q(9p-2) ³0.

Рассмотрим сначала левую пару неравенств (l):

(p-l)(-14q +3) ³0, р(-14q+3) ³0.

Возможны следующие три случая:

1)р=1, 2)р=0, 3) 0<р<1.

Рассмотрим каждый из этих случаев подробно.

1. Полагая р = 1, получаем

0³0, -14q +3³0.

Отсюда q ³ 3/14.

2. Полагая р= 0, получаем

0³0, -(-14q +3) ³0, 0³0, откуда

14q -3³0

и, значит,q£ 3/14.

3. Наконец, положив 0 < р < 1, получим

-14q+3³0,

-14q+3 £ 0,

что возможно лишь в случае, если

-14q+3=0,

т. е. q = 3/14.

Перенесем теперь полученные результаты на чертеж. Введем на плоскости прямоугольную систему координат (р, q) и выделим на ней единичный квадрат, соответствующий неравенствам 0 £ р£ 1, 0£ q£ l, (рис.2.7.2).

Рис. 2.7.2 Рис. 2.7.3

Нанесем на этот чертеж то множество точек, которое описывается условиями 1, 2 и 3. Это множество на рис. 2.7.3 выделено жирной линией и состоит из трех прямолинейных участков – двух вертикальных лучей и одного горизонтального отрезка – и предста­вляет собой "зигзаг".

Теперь обратимся к правой части неравенств (r):

(q-l) (9p-2) ³0, q(9p-2) ³0.

Три интересных для нас случая:

1) q=1,2) q = 0,3) 0 < q < 1

приводят к следующему результату:

1°. q =1, p ³ 2/9,

2°. q =0, p £ 2/9,

3°. 0 < q < 1, р=2/9.

Перенося его на чертеж, получим второй "зигзаг", но уже горизонтальный.

Теперь остается только объединить полученное на рис. 2.7.4. Общая точка построенных зигзагов – точка равновесия – имеет координаты

Рис. 2.7.4

Соответствующие смешанные стратегии игроков имеют следующий вид:

Р= , Q= ,

а средние выигрыши игроков таковы:

H_A = , H_B = .

Дилемма узников

Выигрыши игроков А и В описываются соответствующими матрицами выплат:

А= , В= .

Проведем необходимые вычисления. Имеем:

С= –1– (–9) – 0+(–6)=2, a= –6– (–9)=3,

D = –1 – 0 – (–9) + (–6) =2, b= –6 – (–9) = 3.

Отсюда

(l) (p-l) (2q-3) ³0, (r) (q-l) (2p-3) ³0,

р(2q-3) ³0, q(2p-3) ³0.

и тогда получаем, что

1^l. p =1, q ³ 3/2, 2^l. p =0, q £ 3/2, 3^l. 0 < p < 1, q=3/2;

1^r. q =1, p ³ 3/2, 2^r. q =0, p £ 3/2, 3^r. 0 < q < 1, р=3/2.

Полученные зигзаги изображены на рис. 2.7.5.

3/2

1

0 1 3/2

Рис. 2.7.5

Единственная равновесная ситуация – (0,0). Это ситуация, в которой каждый из игроков выбираетвторую чистую стратегию – сознаться – и его потери составляют 6.

Как мы уже отмечали ранее, отклонение от ситуации равнове­сия одного из игроков не дает ему никаких преимуществ. Однако при одновременном отклонении обоих каждый из них может полу­чить больший выигрыш, нежели в равновесной ситуации. Например, в ситуации (1,1), когда оба игрока выбирают первую чистую страте­гию – молчать, каждый из них теряет лишь 1.

Напомним, чтопо условию задачи сговор (создание коалиции) между игроками недопустим.

Совершенно ясно, однако, что в рассматриваемых обстоятельствах ситуация (1,1) неустойчива – любой из узников, изменяя свою стратегию, увеличивает свой выигрыш (избегает наказания).

Семейный спор

Выигрыши игроков А и В в этой биматричной игре задаются так:

А= , В= .

Проводя необходимые вычисления:

С= 2– 0 – 0+1=3, a= 1– 0=1,

D = 1 – 0 – 0 + 2 =3, b= 2 – 0 = 2

и рассуждения:

(l) (p-l) (3q-1) ³0, (r) (q-l) (3p-2) ³0,

р(3q-1) ³0, q(3p-2) ³0,

получаем, что

1^l. p =1, q ³ 1/3, 2^l. p =0, q £ 1/3, 3^l. 0 < p < 1, q=1/3;

1^r. q =1, p ³ 2/3, 2^r. q =0, p £ 2/3, 3^r. 0 < q < 1, р=2/3.

Геометрически полученный результат изображен на рис. 2.7.6.

Данная игра имеет три точки равновесия. Две из них отвечают чистым стратегиям игроков:

р=1, q =1: H_A(1, 1)=2, H_В(1, 1)=1,

р=0, q =0: H_A(0, 0)=1, H_В(0, 0)=2,

Рис. 2.7.6

одна — смешанной:

H_A = , H_B = .

В полученных результатах больше вопросов, чем ответов.

Ситуации (1,1) и (0,0) означают одновременный выбор игроками первых или соответственно вторых стратегий, т. е. определенную договоренность о совместных действиях.

Однако в данном случае есть еще одна ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками вполне определенных смешанных стратегий. В ней оба игрока получают одинаковые выигрыши, правда, меньшие тех, которые давали две другие равновесные ситуации.

Какой же из этих трех ситуаций равновесия следует отдать предпочтение?

Если бы игроки договорились выбрать одновременно, скажем, первую чистую стратегию, причем игрок А за получение большего выигрыша, чем игрок В, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полутора единиц можно было бы считать и выгодным, и справедливым. Однако в рамках теории бескоалиционных игр такого рода дележи не рассматриваются.

Студент - преподаватель

Наконец, обратимся к последнему из приведенных выше примеров биматричных игр – студент-преподаватель. Ожидания каждого из них относительно результатов общения в матричном виде выглядят следующим образом;

А= , В= .

Проводя необходимые вычисления:

С= 2+ 1 – 1+0=2, a= 0+ 1=1,

D = 1 +3+2 – 1 =5, b= – 1+2 = 1

и рассуждения:

(l) (p-l) (2q-1) ³0, (r) (q-l) (5p-1) ³0,

р(2q-1) ³0, q(5p-1) ³0,

получаем, что

1^l. p =1, q ³ 1/2, 2^l. p =0, q £ 1/2, 3^l. 0 < p < 1, q=1/2;

1^r. q =1, p ³ 1/5, 2^r. q =0, p £ 1/5, 3^r. 0 < q < 1, р=1/5.

(рис. 2.7.7).

Рис. 2.7.7

Число точек пересечения у зигзагов (равновесных ситуаций) равно трем.

Две из них отвечают чистым стратегиям игроков:

р=1, q =1: H_A(1, 1)=2, H_В(1, 1)=1,

р=0, q =0: H_A(0, 0)=0, H_В(0, 0)= -1,

одна – смешанной:

H_A = , H_B = .

В данной задаче в отличие от предыдущей все довольноясно, наилучшим является выбор каждым из игроков первой чистой стратегии – хорошо подготовиться к зачету и поставить зачет.

Как нетрудно заметить, тем самым в этой задаче реализуется весьма редкая возможность, когда функции выигрыша каждого из игроков достигают своих максимумов одновременно.

Выгодность такой ситуации совершенно ясна. Ее устойчивость также вполне очевидна: любое отклонение от ситуации (1,1) одного из игроков или обоих игроков может привести разве что к уменьшению их выигрышей.

Некоторые итоги

Из приведенных примеров видно, что числа С и D могут быть как положительными, так и отрицательными.Они могут, в частности, даже обращаться в нуль.

Рассмотрим, однако, наиболее интересный в приложениях случай, когда ни С ни D нулю не равны.Тогда, как нетрудно видеть, точка равновесия определяется парой

Эти формулы являются весьма примечательными:в равновеснойситуации выбор игрока А полностью определяется элементами платежной матрицы игрока В,

(и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы), а выбор игрока В в равновесной ситуации полностью определяется элементами платежной матрицы игрока А,

(и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы).

Иными словами, равновесная ситуация обоих игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать этот выигрыш). И если, например, заменить в биматричной игре матрицу выплат игроку А, а матрицу выплат игроку В оставить прежней, то игрок А никак не изменит своего "равновес­ного" поведения (просто не обратит внимания на эту замену), в то время как игрок В изменит свою стратегию на новую, равновесную.

Таким образом, в биматричной (неантагонистической) игре мы вновь встречаемся с антагонизмом. Правда, теперь это уже не антагонизм интересов (как было в антагонистической, матричной игре), а антагонизм поведения.

Отметим, что в биматричных играх (в отличие от матричных) при наличии нескольких ситуаций равновесия средний выигрыш игрока в разных равновесных ситуациях различен (напомним, что в матричной игре выигрыш игрока один и тот же вне зависимости от количества точек равновесия).

Но если средние выигрыши разнятся,токакую равновесную ситуацию следует считать оптимальной?

Наконец, еще одно, не менее интересноеобстоятельство. Вспомним, с какими трудностями мы столкнулись, пытаясь перевести эмоциональные оценки результатов общения студент-преподаватель в количественные показатели. В целом сохраняя основные соотношения, эти количественные оценки могут, конечно, изменяться как от студента к студенту, так и от преподавателя к преподавателю. Однако если эти изменения будут не слишком значительными – элементы платежной матрицы "пошевельнутся" слегка – то слегка "пошевельнутся" и зигзаги, не изменяя ни своей общей формы, ни взаимного расположения, а значит, число равновесных ситуаций не изменится. Впрочем, сказанное относится лишь к случаю, когда множество ситуаций равновесия конечно и состоит из нечетного числа точек (одной или трех).

Как принято говорить в подобных случаях, это число устойчиво относительно малых шевелений.

Конечно, в некоторых биматричных играх равновесные ситуации случаются и в чистых стратегиях (в последнем из разобранных примеров таких ситуаций даже две). Но, как показывают разобранные примеры, во-первых, чистой ситуации равновесия может вовсе не быть, и, во-вторых, даже при ее наличии не исключено существование равновесных ситуаций в смешанных стратегиях. И, чтобы найти их все, неизбежно приходится обращаться к описанному выше подходу.