Многоканальная система обслуживания с неограниченной очередью.

В компанию приходят клиенты за консультацией о продаваемой продукции с интенсивностью 8 посещений в час. Два работника компании тратит на обслуживание каждого клиента в среднем 6 минут. Необходимо определить вероятность нахождения в приемной комнате 1, 2 и 3-х клиентов, среднее количество клиентов за час, среднее количество ожидающих консультации клиентов, среднее время ожидания.

Решение: Исходные данные для нашей задачи следующие:

λ = 8; μ =10; η = 0,8; S = 2.

Подставляя исходные данные в формулы (2.6.9) – (2.6.14) получим:

вероятность отсутствия клиентов Р₀= 0,429;

вероятность нахождения в приемной 1-го клиента Р₁= 0,343;

вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов Р₂= 0,137;

вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов Р₃ = 0,055;

среднее количество клиентов, находящихся в компании за 1 час – 0,95 человека.

Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов – 0,152 человека.

Среднее время ожидания в очереди – 0,019 часа (1,14 минуты).

4. Многоканальная система обслуживания с ограниченной очередью.

В компанию приходят клиенты за консультацией о продаваемой продукции с интенсивностью 8 посещений в час. Два работника компании тратит на обслуживание каждого клиента в среднем 6 минут. Количество мест в приемной для клиентов равно 3. Необходимо определить вероятность нахождения в приемной комнате 1, 2 и 3-х клиентов, среднее количество клиентов за час, среднее количество ожидающих консультации клиентов, среднее время ожидания.

Решение: Исходные данные для нашей задачи следующие:

λ = 8; μ = 10; η = 0,8; S = 2; К = 3; N = 5.

Подставляя исходные данные в формулы (2.17) – (2.23) получим:

вероятность отсутствия клиентов Р₀= 0,431;

вероятность нахождения в приемной 1-го клиента Р₁= 0,345;

вероятность нахождения в приемной 2-х клиентов Р₂ = 0,138;

вероятность нахождения в приемной 3-х клиентов Р₃ = 0,055;

Среднее количество ожидающих обслуживания клиентов – 0,126 человека.

Среднее время ожидания в очереди – 0,0159 часа (0,95 минуты).

Контрольные воросы

1. Каковы виды заявок на обслуживание в коммерческой деятельности?

2. Что является каналами обслуживания в коммерческой деятельности?

3. Каковы механизмы массовости поступления заявок на обслуживание в коммерческой деятельности?

4. Какие трудности в реализации обеспечения массового обслуживания в коммерческой деятельности?

5. Зачем нужны характеристики СМО?

6. Как пользоваться характеристиками СМО с отказами в коммерческой деятельности?

7. Как применять характеристики СМО с ожиданием в коммерческой деятельности?

8. Как аргументировать построение СМО с ограничением на длину очереди в коммерческой деятельности?

9. Каким образом можно оценить свою деятельность с помощью характеристик СМО?

10. Как можно провести оценку работы вашего руководителя на основе характеристик СМО?

11. Проведите оценку работы характеристиками СМО минимаркета, книжного киоска или любого другого торгового предприятия.

12. Проведите оценку согласованности взаимодействия студентов в группе с помощью характеристик СМО в процессе выполнения фрагментов учебного процесса: выполнения курсовых работ, подготовки и сдачи зачетов, экзаменов.

13. Дайте оценку взаимодействия членов вашей семьи утром характеристиками СМО.

14. Понятие и экономическая интерпретация системы массового обслуживания.

15. Использование теории очередей в управлении потоками товаров и услуг.

16. Расчёт средней длины очереди к системе массового обслуживания.

17. Расчёт вероятности превышения пороговой длины очереди к системе массового обслуживания.

18. Расчёт среднего времени ожидания в очереди к системе массового обслуживания.

19. Необходимое условие работоспособности системы массового обслуживания, его обоснование и экономическое значение.

20. Анализ проектов расширения обслуживающих мощностей с использованием теории очередей.

21. Оптимизация обслуживающих мощностей с использованием теории очередей.

22. Формулировка и экономическая интерпретация модели системы массового обслуживания.

Тесты

1. Предметом теории массового обслуживания является:

а) разработка математического и программного обеспечения;

б) построение математических моделей, связывающих заданные условия работы системы с показателями эффективности функционирования с целью нахождения наилучших вариантов управления этими системами;

в) построение оптимизационных моделей.

2. Каждая система массового обслуживания (СМО) состоит из одного или нескольких обслуживающих устройств, которые называются:

а) очередью;

б) входящим потоком заявок;

в) каналами обслуживания;

г) выходящим потоком обслуженных заявок.

3. Вероятностной характеристикой случайного потока заявок служит:

а) время поступления заявок;

б) интенсивность поступления заявок;

в) количество поступивших заявок.

4. Признаками классификации СМО не являются:

а) число каналов обслуживания;

б) время обслуживания;

в) длина очереди

5. Показателями эффективности СМО являются:

а) интенсивность потока заявок;

б) среднее время обслуживания заявки;

в) абсолютная пропускная способность СМО;

6. Какие примеры потоков событий Вы знаете?

а) поток вызовов на телефонной станции;

б) поток отказов (сбоев) ЭВМ;

в) поток железнодорожных составов, поступающих на сортировочную станцию;

г) поток частиц, попадающих на счетчик Гейгера;

д) все вышеназванные.

7. Какие примеры систем массового обслуживания Вы знаете?

а) телефонные станции;

б) ремонтные мастерские;

в) билетные кассы, справочные бюро;

г) магазины, парикмахерские;

д) все вышеназванные.

8. Что может служить в качестве каналов системы массового обслуживания?

а) линии связи;

б) кассиры, продавцы;

в) лифты;

г) автомашины;

д) все вышеназванное.

9. Что можно выбрать в качестве показателей эффективности системы массового обслуживания?

а) среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени;

б) среднее число занятых каналов;

в) среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания;

г) вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение;

д) все вышеназванные.

10. Какие одноканальные СМО с очередью Вы знаете?

а) врач, обслуживающий пациентов;

б) телефон-автомат с одной будкой;

в) ЭВМ, выполняющая заказы пользователей;

г) содержимое п.п. а,б;

д) содержимое п.п. а,б,в.

Ответы к тестам

Задания и задачи

1. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведе­ния профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление де­фектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмот­ра необслуженной. Определить вероятности состояний и характе­ристики обслуживания профилактического пункта осмотра.

2. Решить задачу 1 для случая s = 4 канала (групп про­ведения осмотра). Найти число каналов, при котором относитель­ная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.

3. Анализируется работа междугородного переговорного пун­кта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. В среднем за сутки поступает 240 заявок на пере­говоры. Средняя длительность переговоров (с учетом вызова або­нентов в другом городе) составляет 5 мин. Никаких ограничений на длину очереди нет. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания переговорного пункта в стационарном режиме.

4. Решить задачу 3 для случая s = 3 телефонных аппа­ратов.

5-6. Решить задачи 1, 2 при условии, что ма­шина, прибывшая на пункт осмотра, покидает этот пункт лишь в случае, если в очереди на осмотр стоят более 5 машин.

7-8. Решить задачи 3, 4 при условии, что длина очереди не должна превышать 60 чел.

9. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность 12 клиентов в час. Среднее время обслуживания 20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

10. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью 0,5 отказа в час, среднее время ремонта 0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

11. Два рабочих обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее время наладки составляет 15 мин. Найдите среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.

Найдите те же характеристики для системы, в которой:

а) за каждым рабочим закреплены два станка;

б) два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;

в) единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок.

12. Пусть на аэродром самолеты прибывают с интенсивностью 27 самолетов в час, время приземления составляет 2 минуты, допускается нахождение над аэродромом не более m = 10 самолетов. Нужно определить число N посадочных полос, гарантирующее вероятность отказа, не превышающую 0.05, и среднее время ожидания, не превышающее 5 минут.

13. Пусть имеются станки, которые могут выходить из строя с частотой в среднем 2 раза за смену. Продолжительность ремонта одним оператором составляет около трех часов (оператор одновременно может ремонтировать лишь один станок и не переходит к другому, не отремонтировав предыдущий). Хотелось бы определить число операторов, при котором потери от простоя станков и оплаты лишнего числа операторов были бы минимальны.

Указание: представить систему с N каналами (операторами) и очередью с m местами ожидания (совпадает с числом станков). Если известны потери Сп от простоя станка в течение часа и оплата Ср часа работы оператора, то при семичасовой смене задача сводится к нахождению значения N, которое минимизировало бы значение

где T_очер – время простоя станка за смену.

14. Механическая мастерская завода с тремя постами выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, имеет интенсивность 2.5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма равно 0.5 сут. Предположим, что очередь перед мастерской может расти практически неограниченно. Требуется вычислить предельные значения вероятностных характеристик системы.

15. Система массового обслуживания – билетная касса с тремя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 человек за 20 мин. Кассир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 минут. Определите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.