Интегрирование простейших дробей.
Простейшими (элементарными)дробями называются правильные дроби следующего вида:
I.
II. , где m – целое число, большее единицы;
III. , где , т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;
IV. , где n – целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа.
Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, и IV типов.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем
I.
II.
III.
Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа получаем
или
где , (здесь ), откуда
Например, найдем интеграл
Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и проинтегрируем:
Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа.
Требуется найти .
Выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде
Тогда
В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому
так как для любого значения х.
Второй интеграл, как уже был отмечено, находится по формуле
Итак,
Например, найдем интеграл
Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV типа.
Требуется найти
Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:
Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью подстановки , а второй преобразуем так:
Полагая теперь , и обозначая , получаем
Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть выполнено с помощью рекуррентной формулы.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 216;