Исследование корней по знаку дискриминанта

Рассмотрим неполное кубическое уравнение с действительными коэффициентами, то есть уравнение

y³+py+q=0, где p, qÎR. (1)

дискриминантом уравнения (1) будем называть выражение

D= .

Так как p, qÎR, то, очевидно, DÎR, поэтому возможен лишь один из трех случаев: D>0, D=0, D<0.

Итак, пусть D>0Û >0 Þ ÎRÞ ÎR.

В теории функций действительных переменных доказывается, что существует хотя бы один действительный корень нечетной степени из действительного числа. следовательно, среди значений u₁, u₂, u₃ обязательно есть хотя бы одно действительное, выберем его в качестве u₁.

Таким образом, u₁ÎRÞ v₁= ÎR Þ y₁=u₁+v₁ÎR,

y₂=- (u₁+ v₁)+i ( u₁- v₁) ÎC, так как u₁¹ v₁,

y₃=- (u₁+ v₁)-i ( u₁- v₁) ÎC, так как u₁¹ v₁.

Все сказанное позволяет сделать вывод:

Если дискриминант кубического уравнения с действительными коэффициентами положителен, то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

пусть D=0Û =0Û Þ Þ u_1-3= , где ÎR, следовательно, среди значений u₁, u₂, u₃ обязательно есть хотя бы одно действительное, выберем его в качестве u₁ = , тогда v₁= = = - = ÎR, y₁=u₁+v₁= ÎR,

y₂=- (u₁+ v₁)+i ( u₁- v₁)= - ( )= ÎR,

y₃=- (u₁+ v₁)-i ( u₁- v₁)= - ( )= ÎR,

Cказанное позволяет сделать вывод:

Если дискриминант кубического уравнения с действительными коэффициентами равен нулю, тогда уравнение имеет три действительных корня, причем два из них равны между собой.

Наконец, пусть D<0Û <0

Замечание. Так как DÎR, то последнее неравенство возможно только при в том случае, если р<0.

Обозначим =-b², где bÎR, b¹0, тогда

u_1-3= , v_1-3=

Для нахождения u₁ , u₂ , u₃ найдем модуль и аргумент комплексного числа, записанного под знаком корня:

r= ,

cosj=- ,

sinj= >0,

u_1-3= ,

k=0,

u₁= ,

k=1,

u₂= ,

k=2,

u₃= ,

v_1-3= ,

k=0,

v₁’= ,

k=1,

v₂’= ,

k=2,

v₃’ = .

Теперь, пользуясь соотношением uv= , подбираем пары соответствующих значений. Так как uvÎR, то arg(uv)=kπ, то есть argu+argv=kπ, kÎZ.

В качестве упражнения показать, что

y₁=u₁+v₁’, y₂=u₂+v₃’, y₃=u₃+v₂’.

Таким образом,

y₁= + = =

= ÎR,

y₂= =

= =

= =

= ÎR,

y₃= =

=

=

= ÎR.

Вывод: Если дискриминант кубического уравнения с действительными коэффициентами отрицателен, тогда уравнение имеет три действительных различных корня.