Кольца и поля. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЬЦА

Одним из центральных понятий современной алгебры является понятие кольца.

Определение. Пусть К - множество, в котором заданы два алгебраических действия. Одно будем называть сложением, и обозначать “+”, второе будем называть умножением и обозначать “´“. Множество К с действиями сложения и умножения называется (ассоциативным) кольцом, если выполняются следующие условия:

1) сложение коммутативно, ассоциативное обратимо;

2) умножение ассоциативно;

3) сложению и умножение связаны двумя дистрибутивными законами: "a, b, cÎK(a´(b+c)=a´b+a´c, (a+b)´c=a´c+b´c).

Будем обозначать К=(К,+,´) - кольцо. Можно дать аксиоматическое определение кольца:

Определение. Алгебру К=(К,+,´) будем называть кольцом, если для элементов множества К выполняются следующие аксиомы:

А0 (аксиома замкнутости по сложению) "a,bÎK$!cÎK(c=a+b)

А1 (аксиома ассоциативности сложения) "a,b,cÎK(a+(b+c)=(a+b)+c)

А1’ (аксиома коммутативности сложения) "a,bÎK(a+b=b+a)

А2 (аксиома обратимости сложения)

1° $0ÎK"aÎK(a+0=a)

2° "aÎK$-aÎK(a+(-a)=0)

М0 (аксиома замкнутости по умножению) "a,bÎK$!cÎK(c=ab)

М1 (аксиома ассоциативности умножения) "a,b,cÎK(a(bc)=(ab)c)

D (аксиома дистрибутивности)

"a,b,cÎK(a(b+c)=ab+ac Ù (b+c)a=ba+ca)

Примеры:

1. Множество целых чисел Z образует кольцо.

2. Числа вида a+bÖp, где а, b - целые числа, р - простое число, образуют кольцо.

3. Множество целых чисел, делящихся на данное число n, является кольцом

4. Множество натуральных чисел кольцом не является.

5. Множество всех многочленов относительно сложения и умножения образует кольцо.

6. K={а₁, a₂, a₃). Действие сложения и умножения заданы следующими таблицами:

Необходимо доказать, что K=(K,+,×) является кольцом. Таблицы определяют действие в К. Остается проверить выполнение свойств, указанных в определении кольца. (Проверить самостоятельно.) Отметим, что нулем в данном кольце является элемент а₃, что видно из определения действия сложения.

Так как кольцо является коммутативной группой по сложению, то для любых элементов а и b кольца уравнение b+х=а имеет единственное решение а + (-b), которое обозначается также через а-b и называется разностью элементов а и b. Абелеву группу (K,+) называют аддитивной группой кольца, а полугруппу (K,×) – мультипликативной полугруппой кольца. Если 1ÎК, тогда К называется кольцом с единицей. Кольцо К будем называть коммутативным кольцом, если операция умножения в К коммутативна.