Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.

123

Самый употребительный на практике метод начертательной геометрии предложил Гаспар Монж. В основе этого метода лежит ортогональное проектирование.

Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки А на плоскость π₁называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость π₁ (рис.1.5)

Рис. 1.5

Получаемый при этом на плоскости π₁ чертеж необратим, соответствие между оригиналом А и проекцией A' однозначно только в одну сторону: от оригинала к проекции. Оригиналу соответствует единственная проекция, оригиналом чертеж определен однозначно, но для проекции A' существует бесчисленное множество соответствующих ей оригиналов, а именно все точки проецирующей прямой A A'. Точный перевод с языка чертежа на язык натуры невозможен. Поэтому Монж вводит вторую плоскость проекций.

Рис. 1.6. Рис.1. 7.

На рис. 6. изображена прямоугольная система координат.

Совмещая теперь плоскости π₁ и π₂ с построенными в них проекциями поворотом π₁вокруг оси Х на 90⁰ так, чтобы передняя полуплоскость π₁ совпала с нижней полуплоскостью π₂, получаем комплексный чертеж точки или эпюр Монжа. (рис. 1.7).

Построенный по таким правилам чертеж, состоящий из пары проекций, расположенных в проекционной связи, обратим, то есть соответствие между оригиналом и чертежом однозначно в обе стороны. Или иначе говоря, чертеж дает исчерпывающую информацию об оригинале. Расшифровка этой информации и составляет предмет начертательной геометрии.

Из комплексного чертежа точки можно сделать выводы:

1. две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве;

2. проекции точек всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции.

A' A" Х

Линии, соединяющие проекции точек, называются линиями связи и изображаются сплошными тонкими линиями.

В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему π₁(горизонтальная плоскость) π₂(Фронтальная плоскость) и другие плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная и к π₁и к π_1, - это профильная плоскость. π₃. Линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей дают ось Х, линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей дают ось У, и линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей – ось Z. (рис.1. 8)

Рис. 1.8

Чтобы получить комплексный чертеж точки необходимо расположить три плоскости в одной, для чего «разрезаем» ось У и совмещаем три основные плоскости проекций в одну (рис.1. 9).

Рис. 1.9

Новой информации об оригинале третья проекция не добавляет. Она лишь делает имеющуюся информацию более удобоваримой. (Рис. 1.10)

Рис. 1.10

Расстояние от точки А до плоскости π₃(А A"') в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A'AY = A"A_Z = A_X0 = X

Расстояние от точки А до плоскости π₂(А A") в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A'AX = A"'A_Z = A_Y0 = Y

Расстояние от точки А до плоскости π₁(А A') в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A"AX = A"'A_Y = A_Z0 = Z

Пример. Построить проекции точек А(10, 10,30), В(30,20,10)

Рис.1.11

Конкурирующие точки.

Точки, у которых совпадает одна пара одноименных проекций (а другие не совпадают), называются конкурирующими точками.

Понятие «ближе-дальше»

Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция B' ближе к наблюдателю, чем A', и на π₂ видимой будет проекция B'' а проекция А'' будет невидимой (рис. 1.12).

Рис. 1.12

Понятие «выше-ниже»

Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция А'' ближе к наблюдателю, чем В'', и на π₁ видимой будет проекция А' а проекция В' будет невидимой (рис. 1.13).