Начертательная геометрия

Начертательную геометрию называют также теорией изображений. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур на плоском чертеже и способов решения пространственных геометрических задач на плоском чертеже.Стереометрические (трехмерные) объекты обсуждаются в ней с помощью планиметрических (двухмерных) изображений этих объектов, проекций.

Говорят, что чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.

Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов, способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками.

Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г. Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов.

Принятые обозначения.

А, В, С, D, -точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита;

a, b, с, d - линии - строчными буквами латинского алфавита;

p₁ – горизонтальная плоскость проекций,

p₂ – фронтальная плоскость проекций,

p₃ - профильная плоскость проекций,

p₄, p₅, ... - дополнительные плоскости проекций.

, , - плоскости

Оси проекций - строчными буквами латинского алфавита: х, y и z. Начало координат - цифрой 0.

Проекции точек, прямых, плоскостей обозначаются: на p₁ с одним штрихом, на p₂ с двумя, на p₃ – с тремя штрихами.

p₁ – А^I, В^I, C^I,..., a^I, b^I, ... ,a ^I, b^I,

p₂ – А^II, В^II, C^II,..., a^II, b^II, ... ,a ^II, b^II,

p₃ – А^III, В^III, C^III,..., a^III, b^III, ... ,a ^III, b^III.

Образование проекций.

1 Центральное проецирование.

Аппарат центрального проецирования состоит из центра проецирования S, плоскости проекций π, проецирующих лучей.

π₁ - плоскость проекций

S – центр проецирования

A, B, C - точки в пространстве

A', B', C' - проекции точек на плоскость π'

Рис.1.1

Проекция – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

2. Параллельное проецирование.

Проецирующие лучи проводятся параллельно S и друг другу. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. При косоугольном проецировании лучи расположены под углом к проецирующей плоскости.

Рис. 1.2

.

При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.3). Прямоугольное проецирование является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей

Рис. 1.3.

Основные свойства ортогонального проецирования

1. Проекция точки - есть точка;

2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия или точка(прямая перпендикулярна плоскости проекций);

3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А l ® A' l';

4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;

5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m ∩ n = K ® m' ∩ n' = K';

6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А'B': C'D'

7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).

Рис.1. 4.