Векторные диаграммы

Изображение гармонической величины в виде вектора

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты ƒ, но имеющих разные амплитуды (I_m , E_m , U_m) и начальные фазы (ψ_i , ψ_u , ψ_e ).

Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически.

Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Синусоидальную величину (например, u = U_m cos(ωt + ψ_u ) изображают в виде радиуса-вектора (см. рис.3.1), иногда просто U_m или U, или вектором на комплексной плоскости Ủ_m – комплексная амплитуда или Ủ– комплексное действующее значение. Тогда между гармонической величиной и вектором на комплексной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое записывается в виде u→U_me^j(ωt+α) = ů-комплексное мгновенное значение.

j

ω

Ủ_m

ψ

О + Рис. 3.1

ψ – угол, образованный U_m с осью (+) в начальный момент времени, называемый начальной фазой. Вектор U_m вращается в заданной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω, против часовой стрелки. Причем проекция этого вектора на ось «х» в любой момент времени и определеяет гармоническую величину Пр(U_m)₊ = U_m cos(ωt + ψ_u). Направление вектора не указывает направление действия напряжение (или тока и э.д.с.). Это его отличие от векторов в механике, которыми обозначаются величина и направление силы, скорости, ускорения.

Сумма двух синусоидальных величин изображается суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые, а линейная комбинация нескольких синусоидальных величин – соответствующей линейной комбинацией векторов. Такое изображение синусоидальных величин называется векторной диаграммой. При построении векторных диаграмм один из векторов – исходный располагают произвольно, другие векторы – под соответствующими углами к исходному.

Пусть необходимо сложить две гармонические функции с одинаковым периодом, но разными начальными фазами (см.рис.3.2):

u₁ = U_m1 cos (ωt + α₁) и u₂ = U_m2 cos (ωt + α₂) .

Рис.3.2

По известному правилу сложения векторов можно получить вектор , изображающий сумму обеих функций u₁(t) и u₂(t), как геометрическую сумму векторов , изображающих эти функции. Все три векторы вращаются одновременно с угловой скоростью ω. Поэтому практически всегда изображают относительное расположение векторов и осей в момент t = 0.

Геометрическое построение, описанное выше, определяет амплитуду ОМ = U_m, фазу α

Часто нужно вычислять производную или интегралы гармонических функций времени типа u(t) = U_mcos(ωt + α) . Имеем

.