Примеры решения задач

Пример 1. Рассчитать гибкость стержня. Круглый стержень диаметром 20 мм закреплен так, как показано на рис. 37.1.

Решение

1. Гибкость стержня определяется по формуле

2. Определяем минимальный радиус инерции для круга.

Подставив выражения для J_min и А (сечение круг)

получим

Коэффициент приведения длины для данной схемы крепления μ= 0,5.

Гибкость стержня будет равна

Пример 2. Как изменится критическая сила для стержня, если изменить способ закрепления концов? Сравнить представленные схемы (рис. 37.2)

Решение

Критическая сила увеличится в 4 раза.

Пример 3. Как изменится критическая сила при расчете на устойчивость, если стержень двутаврового сечения (рис. 37.3а, двутавр № 12) заменить стержнем прямоугольного сечения той же площади (рис. 37.3б)? Остальные параметры конструкции не меняются. Расчет выполнить по формуле Эйлера.

Решение

1. Определим ширину сечения прямоугольника, высота сечения равна высоте сечения двутавра. Геометрические параметры двутавра № 12 по ГОСТ 8239-89 следующие:

площадь сечения А₁ = 14,7см²;

минимальный из осевых моментов инерции .

По условию площадь прямоугольного сечения равна площади сечения двутавра. Определяем ширину полосы при высоте 12 см.

2. Определим минимальный из осевых моментов инерции.

3. Критическая сила определяется по формуле Эйлера:

4. При прочих равных условиях отношение критических сил равно отношению минимальных моментов инерции:

5. Таким образом, устойчивость стержня с сечением двутавр № 12 в 15 раз выше, чем устойчивость стержня выбранного прямоугольного сечения.

Пример 4. Проверить устойчивость стержня. Стержень длиной 1 м защемлен одним концом, сечение — швеллер № 16, материал — СтЗ, запас устойчивости трехкратный. Стержень нагружен сжимающей силой 82 кН (рис. 37.4).

Решение

1. Определяем основные геометрические параметры сечения стержня по ГОСТ 8240-89. Швеллер № 16: площадь сечения 18,1см²; минимальный осевой момент сечения 63,3 см⁴; минимальный радиус инерции сечения г_т;_п = 1,87см.

2. Определяем категорию стержня в зависимости от гибкости.

Предельная гибкость для материала СтЗ λ_пред = 100.

Расчетная гибкость стержня при длине l = 1м = 1000мм

Рассчитываемый стержень — стержень большой гибкости, расчет ведем по формуле Эйлера.

3. Допускаемая нагрузка на стержень

4. Условие устойчивости

82кН < 105,5кН. Устойчивость стержня обеспечена.

Пример 5. На рис. 2.83 показана расчетная схема трубчатой стойки самолетной конструкции. Проверить стойку на устойчивость при [n_у] = 2,5, если она изготовлена из хромоникелевой стали, для которой Е = 2,1*10⁵ и σ_пц = 450 Н/мм².

Решение

Для расчёта на устойчивость должна быть известна критическая сила для заданной стойки. Необходимо установить, по какой формуле следует вычислять критическую силу, т. е. надо сопоставить гибкость стойки с предельной гибкостью для её материала.

Вычисляем величину предельной гибкости, так как табличных данных о λ,_пред для материала стойки не имеется:

Для определения гибкости рассчитываемой стойки вычисляем геометрические характеристики ее поперечного сечения:

Определяем гибкость стойки:

и убеждаемся, что λ < λ_пред, т. е. критическую силу можно определить ею формуле Эйлера:

Вычисляем расчетный (действительный) коэффициент запаса устойчивости:

Таким образом, n_у> [n_у] на 5,2%.

Пример 2.87. Проверить на прочность и устойчивость заданную стержневую систему (рис. 2.86), Материал стержней — сталь Ст5 (σ_т= 280 Н/мм²). Требуемые коэффициенты запаса: прочности [n] = 1,8; устойчивости [n_у] = 2,2. Стержни имеют круглое поперечное сечение d₁= d₂= 20 мм, d₃= 28 мм.

Решение

Вырезая узел, в котором сходятся стержни, и составляя уравнения равновесия для действующих на него сил (рис. 2.86)

устанавливаем, что заданная система статически неопределима (три неизвестных усилия и два уравнения статики). Ясно, что для расчета стержней на прочность и устойчивость необходимо знать величины продольных сил, возникающих в их поперечных сечениях, т. е. нужно раскрыть статическую неопределимость.

Составляем уравнение перемещений на основе диаграммы перемещений (рис. 2.87):

или, подставляя значения изменений длин стержней, получаем

откуда

Решив это уравнение совместно с уравнениями статики, найдем:

Напряжения в поперечных сечениях стержней 1 и 2 (см. рис. 2.86):

Их коэффициент запаса прочности

Для определения коэффициента запаса устойчивости стержня 3 надо вычислить критическую силу, а это требует определения гибкости стержня, чтобы решить, какой формулой для нахождения N_Kp следует воспользоваться.

Итак, λ₀< λ < λ_пред и критическую силу следует определять по эмпирической формуле:

Коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, расчет показывает, что коэффициент запаса устойчивости близок к требуемому, а коэффициент запаса прочности значительно выше требуемого, т. е. при увеличении нагрузки системы потеря устойчивости стержнем 3 вероятнее, чем возникновение текучести в стержнях 1 и 2.