Расчет тепловых режимов анодов

Как известно при попадании электронов на мишень, практически вся потребляемая трубкой электрическая мощность преобразуется в тепло, выделяемое на аноде рентгеновской трубки. Поэтому при конструировании рентгеновских трубок необходимо рассчитывать их тепловые режимы. С точки зрения нагрева наиболее критическими являются центр фокусного пятна и центр спая мишени с массивным анодом. Ниже описаны приближенные методы оценки критических температур для массивного и прострельного анода.

В случае массивного анода математическая модель для расчета нагрева может быть представлена на рис. 4.4. Если мы имеем цилиндрический анод радиуса R, и высотой h с массивной мишенью толщиной d, то данную задачу удобнее решать в цилиндрических координатах.

Допустим, что мишень бомбардируется осесимметричным электронным пучком с радиусом r. Распределение плотности тока в пучке и, следовательно, распределение теплового потока в фокусном пятне на поверхности мишени будем считать равномерным.

Как показывает опыт, основание анода является практически изотермическим и будем считать, что с помощью системы охлаждения температура основания Тс1 поддерживается постоянной. Поскольку боковая поверхность массивного анода обычно находится в вакууме, то теплоотводом через нее можно пренебречь.

Для того, чтобы определить тепловой режим работы анода необходимо дифференциальное уравнение с граничными условиями первого и второго рода. Формулы, полученные для расчета температур в результате решения этого уравнения, будут иметь весьма громоздкий вид. Однако для определения мощности, которую можно подвести к аноду, достаточно знать температуру лишь в характерной точке – в центре фокусного пятна.

R

r

d

h0

h

Рис.4.4. Схема цилиндрического медного анода с вольфрамовой мишенью

Эту температуру можно рассчитать по следующей формуле:

, (4.3)

где P –подводимая к аноду мощность, R – радиус анода, f_ф – функция, полученная в результате суммирования рядов и зависящая от геометрии анода, радиуса фокусного пятна и коэффициента теплопроводности анода. Т_с – температура в сечении H₀ = 2R, определяется по формуле:

, (4.4)

где Т_с1 – температура основания анода, l – теплопроводность анода, H – высота анода.

Таким образом, определив температуру Т_с по этой формуле дальнейший расчет следует вести по формуле (1), с применением графика функции f_ф, приведенного на рис. 4.5.

Из формул (4.3) и (4.4) можно, зная максимально допустимую температуру центра фокусного пятна, вывести максимальную мощность, которую можно приложить к цилиндрическому аноду:

(4.5)

Рис.4.5. График вспомогательных функций f_ф и f_H1.

. (4.6)

Для расчета используются следующие величины:

l1 - 1.2 Вт/смЧград

l2 - 3.7 Вт/смЧград

Для вольфрама предельно допустимая температура (Тф) – 2000 ⁰С,

Для меди предельно допустимая температура (Тм) – 800 ⁰С.

Используя указанные величины необходимо определить как температуру центра фокусного пятна, так и максимально допустимую мощность. необходимо определить предельно допустимую мощность трубки (температуры Тф и Тм не должны быть выше предельно допустимых).

Знание предельно допустимой мощности трубки позволяет определить требуемые режимы охлаждения анода.

Для решения этой задачи необходимо к необходимо знать формулы расчета теплопроводности. Количество тепла, проходящего через плоскую и цилиндрическую стенки в единицу времени, определяется выражениями:

[ккал/ч] (4.7)

и

[ккал/ч] (4.8)

где l - коэффициент теплопроводности материала стенок, ккал/м×ч×град; Dt – разность температур поверхностей стенки, °С; b – толщина плоской стенки, м; F - площадь плоской стенки, м²; l – высота цилиндрической стенки, м; r₂, r₁ – радиусы кривизны наружной и внутренней поверхностей цилиндрической стенки.

Охлаждение анодов мощных рентгеновских трубок, работающих в режиме длительных нагрузок, осуществляется проточной жидкостью – водой или маслом.

Количество тепла, передаваемое от охлаждаемой поверхности анода к жидкости в единицу времени, определяется выражением:

(4.9)

где Q₁ – тепло, отдаваемое торцевой частью охлаждаемой поверхности, ккал/ч; Q₂ – тепло, отдаваемое цилиндрической частью охлаждаемой поверхности, ккал/ч.

(4.10)

где α₁ – коэффициент теплоотдачи торцевой поверхности, ккал/м²×ч×град; F₁ - площадь торцевой поверхности, м²; t_ст – температура охлаждаемой стенки, °С; t_ж – средняя температура охлаждающей жидкости, °С.

, (4.11)

где l₂ – коэффициент теплопроводности материала анода (для меди l₂ = 330 , ккал/м×ч×град); F₂ – площадь поперечного сечения металлической трубчатой части анода, м²; , α₂ – коэффициент теплоотдачи цилиндрической поверхности анода, ккал/м²×ч×град; _- внутренний периметр сечения канала анода, м.

Коэффициенты теплоотдачи α₁ и α₂ могут быть рассчитаны по формулам:

, (4.12)

, (4.13)

где безразмерная величина – критерий Рейнольдса, характеризующая режим движения жидкости в подводящей трубке; критерий Рейнольдса, характеризующий режим движения в цилиндрическом зазоре охлаждающей системы; ω₁, ω₂ – скорости движения жидкости в подводящей трубке и цилиндрическом зазоре, м/сек; d₂ – диаметр сечения отверстия подводящей трубки, м; - эквивалентный диаметр цилиндрического зазора, по которому движется охлаждающая жидкость, м; S₂ – сечение этого зазора, м²; L – его периметр, м; - критерий Прандля, характеризующий физические свойства охлаждающей жидкости; ν – кинематическая вязкость жидкости, м²/сек; a – коэффициент температуропроводности жидкости, м²/сек; l - коэффициент теплопроводности жидкости, ккал/м×ч×град.

Скорости воды ω₁ и ω₂ могут быть найдены из выражений:

, (4.14)

, (4.15)

где V – расход жидкости, л/мин; S₁ – сечение отверстия в подводящей трубке, м²; S₂ – сечение зазора, м².

При расчете теплоотдачи радиаторов рентгеновских трубок, работающих в защитном кожухе в масле, можно воспользоваться формулой:

, [Вт] (4.16)

где t – температура радиатора, °С; t₀ – температура масла, °С; S - поверхность теплообмена, м²; ς = 1 – при вертикальном положении радиатора; ς = 0.8 – при горизонтальном положении радиатора.

Как уже указывалось, некоторых типах рентгеновских трубок для терапии, спектрального и структурного анализов применяют двухслойные прострельные аноды. Такой анод представляет собой сочетание тонкого слоя – мишени, в которой происходит торможение электронов и возбуждение излучения, и легкоатомной бериллиевой подложки.

Так как мощность рентгеновских трубок ограничена нагревом их анода, то для определения ее номинальной мощности P_н необходимо исследовать температурное поле анода. При расчете температурного поля прострельного анода его можно рассматривать как круглый однородный диск (рис. 4.6) и не учитывать наличие тонкослойной мишени.

Это допущение обусловлено тем, что наличие мишени очень малой толщины не может существенно изменить характер температурного поля в аноде. Причем приближенно можно считать, что температура мишени по координате z из-за малой толщины мишени не меняется, и при любом r она равна основанию z = 0, на которое мишень нанесена.

Рис. 4.6. Модель для расчета прострельного анода.

Поскольку глубина проникновения бомбардирующих электронов в мишени невелика, создаваемый им источник тепла на поверхности z = 0 можно считать поверхностным.

Трубки с прострельным анодом обычно работают в режиме длительного непрерывного включения, поэтому температурное поле в их анодах является стационарным, и, следовательно, с учетом сделанного выше замечания, оно описывается уравнением Лапласа

, (4.17)

где T(r, z) – температура в точке анода с координатами (r, z). Исходя из реальных условий работы анода в рентгеновской трубке, можно следующим образом охарактеризовать условия на ограничивающих его поверхностях:

1) на поверхности z = 0 удельная тепловая нагрузка распределена по закону Гаусса;

2) температура боковой поверхности r = R может быть принята постоянной, поскольку на этой поверхности диск анода соединен с массивным корпусом трубки;

3) теплоотводом через основание анода z = h можно пренебречь, так как это основание находится в воздухе в условиях естественной конвекции, а коэффициент теплоотдачи для этого процесса относительно мал.

При этих условиях решение уравнения Лапласа для рассматриваемого анода имеет вид

; (4.18)

; (4.19)

. (4.20)

В этих соотношениях: T₀ –температура боковой поверхности анода; Р – мощность электронного пучка; l - коэффициент теплопроводности материала мишени; r₀ – условный радиус фокусного пятна рентгеновской трубки; J₀ и J₁ – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, определяемые из уравнения J₀ (b) = 0.

С помощью приведенных формул можно рассчитать температуру любой точки анода. Однако обычно интересуются только температурой фокусного пятна Т(0, 0) – наиболее нагретой точки анода. Мощность электронного пучка, при которой величина Т(0, 0) достигает предельного для типа мишени значения Т_пр и является номинальной мощностью трубки. Значение Т_пр зависит от материала мишени, метода ее нанесения и некоторых других факторов.