Алгоритмы для расчета кинематики групп Ассура

Аналитический расчет основан на методе векторного замкнутого контура. Условимся для замыкания контура группы использовать вектор , который проводим из центра кинематической пары Bв центр кинематической пары D для групп первого и третьего видов (см. рис. 3.1); из центра кинематической пары Bв точку D₀ на оси поступательной пары для групп второго и пятого видов; из точки B₀в точку D₀для группы четвертого вида. Так как входы в группы должны быть заданы (табл. 3.1–3.3), то этот вектор всегда известен своими проекциями на оси X₀,Y₀, известны также первые и вторые производные от проекций.

3.2.1. Решение задачи о положениях группы 2₁

Исходные данные:

а) переменные (вход) – первая строка табл. 3.1;

б) постоянные – первая строка табл. 3.4.

Уравнение замкнутости контураBCD

(3.1)

¨ в проекциях на оси X₀Y₀имеет вид

,

(3.2)

.

Исключая угол и одновременно вводя обозначения:

; ;

(3.3)

получим трансцендентное уравнение:

(3.4)

Это уравнение при помощи подстановки приводится к алгебраическому. Его решение:

, (3.5)

где δ –коэффициент, учитывающий сборку группы. Проверяем значение коэффициента δ: если группа расположена слева от вектора , то δ= –1, если справа – δ = +1 (пунктирные линии на рис. 3.1).

Далее получим:

; . (3.6)

С учетом (3.2) получим:

,

(3.7)

.

3.2.2. Решение задачи о скоростях группы 2₁

Исходные данные:

а) переменные (вход) – первая строка таблицы 3.2;

б) постоянные – те же, что и в задаче о положениях.

Дифференцируем (3.2):

,

(3.8)

.

Получена система двух уравнений с двумя неизвестными ω_i, ω_k коэффициенты и свободные члены которой имеют вид:

; ;

; ; (3.9)

; .

Решая систему, найдем угловые скорости звеньев:

, , (3.10)

; ; (3.11)

где .

3.2.3. Решение задачи об ускорениях группы 2₁

Исходные данные:

а) переменные (вход) – первая строка таблицы 3.3;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.8):

,

. (3.12)

Снова получена система двух уравнений с двумя неизвестными , . Коэффициенты при неизвестных останутся прежними (3.10), но изменятся свободные члены:

,

(3.13)

.

Решая систему, получим угловые ускорения звеньев.

3.2.4. Решение задачи о положениях группы 2₂

Исходные данные:

а) переменные (вход) – вторая строка таблицы 3.1;

б) постоянные – вторая строка таблицы 3.4.

Уравнение замкнутости контура BCDD₀:

, (3.14)

¨ где S – расстояние от точки D₀ до точки D.

Проектируем на оси X₀Y₀:

,

(3.15)

.

Исключая угол , получим квадратное уравнение

, (3.16)

где ; ; (3.17)

.

Решение уравнения:

, (3.18)

где – коэффициент, учитывающий сборку группы. Проверкой убеждаемся в выборе значения коэффициента . Мысленно переносим вектор в точку В: если он с вектором образует острый угол, то = +1, если тупой, = –1 (пунктирные линии на рис. 3.1).

С учетом (3.2) найдем:

,

. (3.19)

3.2.5. Решение задачи о скоростях группы 2₂

Исходные данные:

а) переменные (вход) – вторая строка таблицы 3.2;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.15):

,

(3.20)

.

Получена система двух уравнений с двумя неизвестными ω_i, S1. Коэффициенты и свободные члены системы:

; ;

; ; (3.21)

; .

Решая систему, получим угловую скорость ω_i и относительную скорость S1.

3.2.6. Решение задачи об ускорениях группы 2₂

Исходные данные:

а) переменные (вход) – вторая строка таблицы 3.3;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.20):

,

. (3.22)

Снова получим систему двух уравнений с двумя неизвестными , S2. Коэффициенты системы остались прежними (3.21), свободные члены изменились и имеют вид:

,

.

Решая систему, получим угловое ускорение и относительное ускорение S2.

3.2.7. Решение задачи о положениях группы 2₃

Исходные данные:

а) переменные (вход) – третья строка таблицы 4.1;

б) постоянные – третья строка таблицы 4.4.

Уравнение замкнутости контура BDB:

, (3.23)

где S – расстояние от точки D до точки С.

В проекциях на оси:

,

(3.24)

.

Исключая угол , получим:

. (3.25)

С учетом (3.24) найдем:

(3.26)

.

3.2.8. Решение задачи о скоростях группы 2₃

Исходные данные:

а) переменные (вход) – третья строка таблицы 3.2;

б) постоянные – третья строка таблицы 3.4.

Дифференцируем (3.24):

,

(3.27)

.

Коэффициенты и свободные члены системы (3.27):

; ;

; ; (3.28)

; .

Решая систему, найдем относительную скорость S1 и угловую скорость .

3.2.9. Решение задачи об ускорениях группы 2₃

Исходные данные:

а) переменные (вход) – третья строка таблицы 3.3;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.27):

,

(3.29)

Коэффициенты системы (3.29) остаются прежними (3.28), свободные члены вычисляются из выражений

,

(3.30)

Решая систему, получим относительное ускорение S2 и угловое ускорение .

3.2.10. Решение задачи о положениях группы 2₄

Исходные данные:

а) переменные (вход) – четвертая строка таблицы 3.1;

б) постоянные – четвертая строка таблицы 3.4.

Уравнение замкнутости контураB₀CD₀:

. (3.31)

В проекциях на оси:

,

(3.32)

Получена система двух уравнений с двумя неизвестными S_B, S_D.

Коэффициенты и свободные члены системы:

; ; ; ;

(3.33)

; .

Решая систему, найдем перемещения S_B, S_D, отсчитываемые от точек B₀, D₀.

3.2.11. Решение задачи о скоростях группы 2₄

Исходные данные:

а) переменные (вход) – четвертая строка таблицы 3.2;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.32):

,

(3.34)

.

Свободные члены системы (3.34):

,

(3.35)

.

Коэффициенты остались прежними (3.33). Решая систему, найдем S_B1, S_D1.

3.2.12. Решение задачи об ускорениях группы 2₄

Исходные данные:

а) переменные (вход) – четвертая строка таблицы 3.3;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.34):

(3.36)

Свободные члены системы (3.36):

,

(3.37)

Коэффициенты вычисляются из (3.33). Решая систему, найдем относительные ускорения S_B2, S_D2.

3.2.13. Решение задачи о положениях группы 2₅

Исходные данные:

а) переменные (вход) – пятая строка таблицы 3.1;

б) постоянные – пятая строка таблицы 3.4.

Уравнение замкнутости контураD₀DB:

(3.38)

В проекциях на оси X₀Y₀:

,

(3.39)

.

Коэффициенты и свободные члены системы:

; ; ; ;

(3.40)

; .

Решая систему (3.39), найдем S_D, S_C. Проекции вектора выражаются через проекции вектора и угол ,которые входят в исходные данные:

,

(3.41)

.

3.2.14. Решение задачи о скоростях группы 2₅

Исходные данные:

а) переменные (вход) – пятая строка таблицы 3.2;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.39):

, (3.42)

.

Свободные члены системы (3.42):

;

(3.43)

.

Коэффициенты сохраняют свои значения и вычисляются из (3.40).

Решая систему, найдем относительные скорости S_D1, S_C1. Входящие в уравнение (3.43) величины , найдем дифференцированием уравнения (3.41):

,

(3.44)

.

3.2.15. Решение задачи об ускорениях группы 2₅

Исходные данные:

а) переменные (вход) – пятая строка табл. 3.3;

б) постоянные – те же.

Дифференцируем (3.43):

(3.45)

Выделим свободные члены системы (3.45):

,

(3.46)

Коэффициенты вычисляются из (3.40). При решении системы найдем относительные ускорения S_D2, S_C2. Входящие в (3.45) , величины найдем дифференцированием (3.44):

; .