Интерпретация двойственной задачи

В то время как физическая интерпретация исходной задачи ясна, смысл двойственной задачи не столь очевиден. Возникает вопрос, как интерпретировать линейную форму и условия двойственной задачи. Лучше всего на этот вопрос можно ответить с помощью формулировки исходной и двойственной задач в терминах размерностей. Пусть рассматривается предприятие, выпускающее ряд изделий (болты, гайки, шайбы и др.). При этом используются некоторые ресурсы (сырье, материалы, финансы и др.), причем одни и те же ресурсы используются для разных видов продукции. Исходная задача заключается, например, в максимизации суммарного дохода.

при условиях, что используемые ресурсы не превысят некоторых заданных пределов

, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Рассмотрим, каковы должны быть размерности переменных и матриц преобразования в так называемой двойственной задаче, которая сводится к минимизации

(8.24)

при условиях

u_i≥0, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Очевидно, что размерности условий двойственной задачи будут совпадать, если u_i совпадет с ценой i-го ресурса (ценность ресурса в конечном продукте), а в левой части (8.24) будет суммарная стоимость всех ресурсов. Тогда двойственная задача состоит в минимизации

min

при условиях

Таким образом, задачи двойственной пары могут быть сформулированы следующим образом:

Исходная задача. Сколько единиц х_j, j=1, 2, ...,n каждого вида продукции, нужно выпустить при удельном доходе с_j и данном предельном потреблении каждого из имеющихся ресурсов b_i, i=1, 2, ...,m, чтобы получить от всего производства максимальную прибыль?

Двойственная задача. Какой должна быть цена u_i, i=1, 2, ...,m каждого из ресурсов, чтобы при максимальном их использовании (объем b_i) обеспечить минимальную суммарную стоимость ресурсов, и при этом гарантировать удельные доходы не меньше заданных с_j, j=1, 2, ...,n?

Двойственные переменные u именуются в различных источниках по-разному, в частности, они называются учетными, неявными или фиктивными ценами.