Оценка точности геодезических измерений

Измерения подразделяют на прямые и косвенные, однократные и многократные, равноточные и неравноточные.

При прямых измерениях значение искомой величины получают непосредственно по показаниям прибора (например, рулеткой измеряют длину отрезка).

При косвенных измерениях значение искомой величины находят вычислениями по известным формулам на основании данных прямых измерений (например, определение площади треугольника по измеренным основанию и высоте).

Однократные измерения дают одно значение измеряемой величины, при многократных – величина измеряется n > 1 раз. Такие измерения необходимы для контроля и позволяют получить более надежный результат.

Равноточные измерения производят в одинаковых условиях: приборами одинаковой точности, одними и теми же методами и одинаковое число раз, при одинаковых условиях внешней среды; выполняют работники одной квалификации.

Неравноточные измерения выполняют в неодинаковых условиях, поэтому они имеют разную точность.

Любое измерение сопровождается погрешностями измерения, которые разделяют на грубые, систематические и случайные.

Грубые погрешности (ошибки, промахи, просчеты) выявляют и устраняют контрольными измерениями.

Систематические погрешности искажают результат измерений всегда в какую-либо сторону. Например, мерная лента на величину Dl короче эталона; известна ее длина при одной температуре, а измерения производят при другой, и тогда появится систематическая погрешность за счет теплового линейного расширения материала ленты. Систематические погрешности стараются исключить введением поправок.

Случайные погрешности принципиально неустранимы, так как они изменяются случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Борьба за уменьшение их влияния сводится к совершенствованию приборов и методов измерений, в частности к увеличению числа повторных измерений, к выбору наиболее благоприятных условий работы.

Установлены следующие статистические свойства случайных погрешностей.

1. Погрешности по модулю не превышают некоторого предела

. (2.41)

2. Равные по модулю положительные и отрицательные погрешности одинаково возможны.

3. Малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

4. Среднее арифметическое погрешностей равноточных измерений стремится к нулю при неограниченном возрастании количества измерений:

. (2.42)

На этих свойствах основана оценка погрешностей и установление наиболее достоверных результатов измерений. Надежную оценку точности измерений – среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения – предложил Гаусс:

. (2.43)

В большинстве случаев критерий Гаусса обеспечивает более надежную оценку точности по сравнению со средним арифметическим абсолютных значений погрешностей , это показано в примере 1.

Средняя q, средняя квадратическая m и предельная погрешности называют абсолютными. Они имеют ту же размерность, что и измеряемая величина.

Часто на практике необходимо знать не абсолютную, а относительную погрешность. Например, если одна линия измерена с точностью (т.е. на 2000 м погрешность составляет 1 м), а вторая с точностью , то очевидно, что вторая линия измерена точнее.

Относительную погрешность обычно представляют дробью, числитель которой равен 1, а знаменатель – результат от деления измеренной величины на абсолютную погрешность. Так, относительная средняя квадратическая погрешность .

Необходимость оценивать точность измерений возникает в следующих случаях.

1. Истинное значение измеряемой величины X известно заранее, например сумма углов многоугольника. Тогда значение погрешности измерений и . На практике такой случай встречается редко.

2. Истинное значение измеряемой величины заранее неизвестно. Тогда, по результатам нескольких равноточных измерений, можно определить наиболее вероятное (наивероятнейшее) значение измеряемой величины , которым оказывается арифметическое среднее. Зная , можно вычислить вероятные погрешности (отклонения) и по формуле Бесселя среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения .

Но само наивероятнейшее значение будет определено также с погрешностью, которую находят по формуле (пример 2).

3. Измеряемая величина определяется косвенным путем, т.е. является функцией других измеренных с какой-то точностью величин (так называемых измеряемых аргументов), средние квадратические погрешности которых m_x, m_y, …, m_t. В теории погрешностей измерений доказано, что средняя квадратическая погрешность величины выражается следующей формулой:

. (2.44)

Использование формулы (2.44) показано в примере 3.

Пример 1. Пусть имеется два ряда измерений при условии, что точность первого ряда заведомо ниже, так как он содержит более значительные по величине погрешности (–6 и +7).

I ряд: –1; +2; –6; +7; –1 ;

II ряд: –4; +2; –4; +3; –4 ,

тогда и , т.е. точность обоих рядов одинакова. Но при оценке точности с помощью критерия Гаусса получаем

;

.

Здесь , и наличие в первом ряду больших погрешностей проявилось.

Пример 2. Даны результаты измерения линии (табл. 2.9). Оценить точность измерений, т.е. вычислить m, M и .

Т а б л и ц а 2. 9

Исходные данные

Номер измерения	l, м	v, см	v2, см2
	68,31	–1
	68,30	–2
	68,34	+2
	68,32
	68,33	+1

м;

см;

см;

.

Пример 3. В треугольнике на плане измерены основание м с см и высота м с см. Определить относительную среднюю квадратическую погрешность площади треугольника .

Площадь треугольника участка

м².

Найдем частные производные от функции S по аргументам b и h:

; .

Тогда

м².

.

Следует отметить, что рассмотренные выше примеры относятся к равноточным измерениям. Случай неравноточных измерений в данном пособии не рассматривается.