Основные операции над матрицами и их свойства

Сложение однотипных матриц

Складывать можно только однотипные матрицы.

Определение 3.12. Суммой двух матриц А = (a_ij) и B = (b_ij), где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n называется матрица С = (с_ij) для которой с_ij = a_ij + b_ij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Обозначение: С = А + B.

Иначе говоря: сложение матриц производится поэлементно.

Пример 3.1. Для матриц А = и В = найти их сумму.

Решение. С = А + B = + = .

Свойства сложения матриц

1) коммутативность: " А, В : А + В = В + А;

2) ассоциативность: " А, В, С : (А + В) + С = А + (В + С);

3) " А, А + О = А, где О – нулевая матрица;

4) " А, $ –А : А + (–А) = О, (–А) – матрица, противоположная матрице А.

Замечание 3.1. Пусть А = (a_ij) тогда –А = (–a_ij), где элемент –a_ij – противоположный элементу a_ij для любых индексов i и j, при этом матрица –А называется противоположной к матрице А.

Пример 3.2. Пусть А = тогда –А = .

Умножение матрицы на число

Определение 3.13. Произведением матрицы А = (a_ij) на действительной число k называется матрица С = (с_ij), для которой с_ij = k×a_ij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Обозначение: С = k×А = kА, т. о. каждый элемент матрицы А умножают на действительное число k.

Пример 3.3. Пусть дано число k = –2 и матрица А = , тогда k×А = (–2)× = .